कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{2 x}$

चरण 1

मान लें $y = f (x)$ , दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{2 x})$

चरण 2

$2 x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{2 x})$ का प्रसार करें.

$\ln (y) = 2 x \ln (x)$

चरण 3

यह ध्यान में रखते हुए कि $y$ , $x$ का एक फलन है, चेन रूल का उपयोग करके व्यंजक में अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके बायीं ओर $\ln (y)$ में अंतर करें.

$\frac{y'}{y} = 2 x \ln (x)$

चरण 3.2

दाहिनी ओर अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$2 x \ln (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$

चरण 3.2.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x \ln (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ है.

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

चरण 3.2.3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$\frac{y'}{y} = 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.2.4

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{y'}{y} = 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.2.5.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.2.5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y} = 2 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.2.5.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{y'}{y} = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

चरण 3.2.5.4

$\ln (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = 2 (1 + \ln (x))$

चरण 3.2.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{y'}{y} = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x)$

चरण 3.2.6.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = 2 + 2 \ln (x)$

चरण 3.2.6.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) + 2$

चरण 4

$y'$ को अलग करें और दाएं पक्ष में $y$ के लिए मूल फलन को प्रतिस्थापित करें.

$y' = (2 \ln (x) + 2) x^{2 x}$

चरण 5

दाएं पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (x)$ को सरल करें.

$y' = (\ln (x^{2}) + 2) x^{2 x}$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' = \ln (x^{2}) x^{2 x} + 2 x^{2 x}$

चरण 5.3

गुणनखंडों को $\ln (x^{2}) x^{2 x} + 2 x^{2 x}$ में पुन: क्रमित करें.

$y' = x^{2 x} \ln (x^{2}) + 2 x^{2 x}$