कैलकुलस उदाहरण

$y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}$

चरण 1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + \sqrt{x + x^{\frac{1}{2}}}}]$

चरण 1.2

$\sqrt{x + x^{\frac{1}{2}}}$ को ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 1.3

$\sqrt{x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ को ${(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 7

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 7.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$\frac{1}{2}$ और ${(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 7.2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 7.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$ है.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

चरण 7.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

चरण 8

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x + x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 8.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 8.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x + x^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 9

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 10

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 11

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 12

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 12.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 13

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 13.2

$\frac{1}{2}$ और ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 13.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

चरण 14

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]))$

चरण 15

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]))$

चरण 16

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

चरण 17

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

चरण 18

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

चरण 19

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

चरण 20

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

चरण 20.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

चरण 21

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

चरण 22

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}))$

चरण 23

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))$

चरण 23.2

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})) \frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$