कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{6} [5 (2^{- \frac{x}{3}}) - \frac{x}{5}] d x$

चरण 1

कोष्ठक हटा दें.

$\int_{0}^{6} 5 (2^{- \frac{x}{3}}) - \frac{x}{5} d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{6} 5 \cdot 2^{- \frac{x}{3}} d x + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

चरण 3

चूँकि $5$ बटे $x$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$5 \int_{0}^{6} 2^{- \frac{x}{3}} d x + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

चरण 4

मान लीजिए $u = - \frac{x}{3}$ .फिर $d u = - \frac{1}{3} d x$ , तो $- 3 d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = - \frac{x}{3}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- \frac{x}{3}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$

चरण 4.1.2

चूंकि $- \frac{1}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{x}{3}$ का व्युत्पन्न $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

चरण 4.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{3}$

चरण 4.2

$x$ के लिए $u = - \frac{x}{3}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - \frac{0}{3}$

चरण 4.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$0$ को $3$ से विभाजित करें.

$u_{lower} = - 0$

चरण 4.3.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 4.4

$x$ के लिए $u = - \frac{x}{3}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = - \frac{6}{3}$

चरण 4.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$6$ को $3$ से विभाजित करें.

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

चरण 4.5.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$u_{upper} = - 2$

चरण 4.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

चरण 4.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

चरण 5.2

$\frac{1}{3}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot (1 \cdot 3) d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

चरण 5.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot 3 d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

चरण 5.4

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$5 \int_{0}^{- 2} - 3 \cdot 2^{u} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

चरण 6

चूँकि $- 3$ बटे $u$ अचर है, $- 3$ को समाकलन से हटा दें.

$5 (- 3 \int_{0}^{- 2} 2^{u} d u) + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

चरण 7

$- 3$ को $5$ से गुणा करें.

$- 15 \int_{0}^{- 2} 2^{u} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

चरण 8

$u$ के संबंध में $2^{u}$ का इंटीग्रल $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ है.

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

चरण 9

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - \int_{0}^{6} \frac{x}{5} d x$

चरण 10

चूँकि $\frac{1}{5}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{5}$ को समाकलन से हटा दें.

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - (\frac{1}{5} \int_{0}^{6} x d x)$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - \frac{1}{5} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

चरण 12

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$- 2$ पर और $0$ पर $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ का मान ज्ञात करें.

$- 15 ((\frac{2^{- 2}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

चरण 12.2

$6$ पर और $0$ पर $\frac{1}{2} x^{2}$ का मान ज्ञात करें.

$- 15 ((\frac{2^{- 2}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

चरण 12.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 15 (\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

चरण 12.3.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 15 (\frac{\frac{1}{4}}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

चरण 12.3.3

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{1}{4}}{\ln (2)}$ को फिर से लिखें.

$- 15 (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

चरण 12.3.4

$\frac{1}{4}$ को $\frac{1}{\ln (2)}$ से गुणा करें.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

चरण 12.3.5

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

चरण 12.3.6

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{2} \cdot 36 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

चरण 12.3.7

$\frac{1}{2}$ और $36$ को मिलाएं.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{36}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

चरण 12.3.8

$36$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.8.1

$36$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

चरण 12.3.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.8.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

चरण 12.3.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

चरण 12.3.8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{18}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

चरण 12.3.8.2.4

$18$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

चरण 12.3.9

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

चरण 12.3.10

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 + 0 (\frac{1}{2}))$

चरण 12.3.11

$0$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 + 0)$

चरण 12.3.12

$18$ और $0$ जोड़ें.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} \cdot 18$

चरण 12.3.13

$18$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - 18 (\frac{1}{5})$

चरण 12.3.14

$- 18$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) + \frac{- 18}{5}$

चरण 12.3.15

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

चरण 13

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 15 \frac{1}{4 \ln (2)} - 15 (- \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

चरण 13.2

$- 15$ और $\frac{1}{4 \ln (2)}$ को मिलाएं.

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} - 15 (- \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

चरण 13.3

$- 15 (- \frac{1}{\ln (2)})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1

$- 1$ को $- 15$ से गुणा करें.

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} + 15 \frac{1}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

चरण 13.3.2

$15$ और $\frac{1}{\ln (2)}$ को मिलाएं.

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

चरण 13.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

चरण 14

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

दशमलव रूप:

$12.63031921 \dots$

चरण 15