कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = 2 \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = 2 \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $2 \cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

उत्पाद नियम को $2 \sin (t)$ पर लागू करें.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.1.3

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.2

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.3

$- 4 \sin^{2} (t)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.4

$4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.6

$4 \cos^{2} (t)$ को ${(2 \cos (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.1.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$2 \cos (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

${(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))$ में से $2 \cos (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{2 \cos (t) ({(2 \sin (t))}^{2})} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{1}{2 \cos (t) {(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

चरण 2.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2}} d t$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$2 \sin (t)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{{(2 (\sin (t)))}^{2}} d t$

चरण 2.2.2.2

उत्पाद नियम को $2 (\sin (t))$ पर लागू करें.

$\int \frac{1}{2^{2} \sin^{2} (t)} d t$

चरण 2.2.2.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{1}{4 \sin^{2} (t)} d t$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t$

चरण 4

$\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ को $\csc^{2} (t)$ में बदलें.

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (t) d t$

चरण 5

चूंकि $- \cot (t)$ का व्युत्पन्न $\csc^{2} (t)$ है, $\csc^{2} (t)$ का समाकलन $- \cot (t)$ है.

$\frac{1}{4} (- \cot (t) + C)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

सरल करें.

$\frac{1}{4} (- \cot (t)) + C$

चरण 6.2

$\frac{1}{4}$ और $\cot (t)$ को मिलाएं.

$- \frac{\cot (t)}{4} + C$

चरण 7

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (\frac{x}{2})$ से बदलें.

$- \frac{\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))}{4} + C$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

समतल में एक त्रिभुज बनाएंं जिसमें शीर्ष $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ और मूल बिंदु हों. फिर $\arcsin (\frac{x}{2})$ धनात्मक x-अक्ष और किरण के बीच का कोण है जो मूल बिंदु से शुरू होकर $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ से होकर गुजरती है. इसलिए, $\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))$ $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ है.

$- \frac{\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}}{4} + C$

चरण 8.1.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

चरण 8.1.3

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

चरण 8.1.4

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1$ और $b = \frac{x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

चरण 8.1.5

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{\sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

चरण 8.1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

चरण 8.1.7

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

चरण 8.1.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

चरण 8.1.9

$\frac{2 + x}{2}$ को $\frac{2 - x}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

चरण 8.1.10

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

चरण 8.1.11

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ को ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.11.1

$(2 + x) (2 - x)$ में से पूर्ण घात $1^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

चरण 8.1.11.2

$4$ में से पूर्ण घात $2^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}}{4} + C$

चरण 8.1.11.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))} \frac{2}{x}}{4} + C$

चरण 8.1.12

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$- \frac{\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{2}{x}}{4} + C$

चरण 8.1.13

$\frac{1}{2}$ और $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ को मिलाएं.

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

चरण 8.1.14

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.14.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

चरण 8.1.14.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{1}{x}}{4} + C$

चरण 8.1.15

$\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}}{4} + C$

चरण 8.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- (\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

चरण 8.3

$\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x \cdot 4} + C$

चरण 8.4

$4$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{4 x} + C$