कैलकुलस उदाहरण

$y = 5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$

चरण 1

$y = 5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ है.

$\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{6}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x^{6}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 6$ है.

$5 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 2.2.3

$6$ को $5$ से गुणा करें.

$30 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x^{4}$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$30 x^{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$30 x^{5} - 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 2.3.3

$4$ को $- 3$ से गुणा करें.

$30 x^{5} - 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 2.4

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 2.4.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 + \frac{d}{d x} [- 9]$

चरण 2.5

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 + 0$

चरण 2.5.2

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$ और $0$ जोड़ें.

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$

चरण 3

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को ग्राफ करें. हल प्रतिच्छेदन बिंदु का x-मान है.

$x \approx - 0.74790241$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - 0.74790241) \cup (- 0.74790241, \infty)$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न $30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$ में अंतराल $(- \infty, - 0.74790241)$ से कोई भी संख्या, जैसे $- 3$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 3$ से बदलें.

$f' (- 3) = 30 {(- 3)}^{5} - 12 {(- 3)}^{3} + 2$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 3$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 3) = 30 \cdot - 243 - 12 {(- 3)}^{3} + 2$

चरण 5.2.1.2

$30$ को $- 243$ से गुणा करें.

$f' (- 3) = - 7290 - 12 {(- 3)}^{3} + 2$

चरण 5.2.1.3

$- 3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 3) = - 7290 - 12 \cdot - 27 + 2$

चरण 5.2.1.4

$- 12$ को $- 27$ से गुणा करें.

$f' (- 3) = - 7290 + 324 + 2$

चरण 5.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$- 7290$ और $324$ जोड़ें.

$f' (- 3) = - 6966 + 2$

चरण 5.2.2.2

$- 6966$ और $2$ जोड़ें.

$f' (- 3) = - 6964$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- 6964$ है.

$- 6964$

चरण 6

पहले व्युत्पन्न $30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$ में अंतराल $(- 0.74790241, \infty)$ से कोई भी संख्या, जैसे $0$ को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f' (0) = 30 {(0)}^{5} - 12 {(0)}^{3} + 2$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f' (0) = 30 \cdot 0 - 12 {(0)}^{3} + 2$

चरण 6.2.1.2

$30$ को $0$ से गुणा करें.

$f' (0) = 0 - 12 {(0)}^{3} + 2$

चरण 6.2.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 2$

चरण 6.2.1.4

$- 12$ को $0$ से गुणा करें.

$f' (0) = 0 + 0 + 2$

चरण 6.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f' (0) = 0 + 2$

चरण 6.2.2.2

$0$ और $2$ जोड़ें.

$f' (0) = 2$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $2$ है.

$2$

चरण 7

चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को ऋणात्मक से धनात्मक में $x = - 0.74790241$ के आसपास बदल दिया, फिर $x = - 0.74790241$ पर एक टर्निंग पॉइंट है.

चरण 8

टर्निंग पॉइंट ज्ञात करने के लिए $- 0.74790241$ का y-निर्देशांक ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- 0.74790241$ का y-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए $f (- 0.74790241)$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 0.74790241$ से बदलें.

$f (- 0.74790241) = 5 {(- 0.74790241)}^{6} - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

चरण 8.1.2

$5 {(- 0.74790241)}^{6} - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$5 {(- 0.74790241)}^{6} - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

चरण 8.1.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.2.1

$- 0.74790241$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 \cdot 0.17501272 - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

चरण 8.1.2.2.2

$5$ को $0.17501272$ से गुणा करें.

$0.8750636 - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

चरण 8.1.2.2.3

$- 0.74790241$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$0.8750636 - 3 \cdot 0.31288139 + 2 (- 0.74790241) - 9$

चरण 8.1.2.2.4

$- 3$ को $0.31288139$ से गुणा करें.

$0.8750636 - 0.93864419 + 2 (- 0.74790241) - 9$

चरण 8.1.2.2.5

$2$ को $- 0.74790241$ से गुणा करें.

$0.8750636 - 0.93864419 - 1.49580483 - 9$

चरण 8.1.2.3

संख्याओं को घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.3.1

$0.8750636$ में से $0.93864419$ घटाएं.

$- 0.06358059 - 1.49580483 - 9$

चरण 8.1.2.3.2

$- 0.06358059$ में से $1.49580483$ घटाएं.

$- 1.55938542 - 9$

चरण 8.1.2.3.3

$- 1.55938542$ में से $9$ घटाएं.

$- 10.55938542$

चरण 8.2

$x$ और $y$ निर्देशांक बिंदु रूप में लिखें.

$(- 0.74790241, - 10.55938542)$

चरण 9