कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{x}$

चरण 1

मान लें $y = f (x)$ , दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{x})$

चरण 2

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{x})$ का प्रसार करें.

$\ln (y) = x \ln (x)$

चरण 3

यह ध्यान में रखते हुए कि $y$ , $x$ का एक फलन है, चेन रूल का उपयोग करके व्यंजक में अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके बायीं ओर $\ln (y)$ में अंतर करें.

$\frac{y'}{y} = x \ln (x)$

चरण 3.2

दाहिनी ओर अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$x \ln (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

चरण 3.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$\frac{y'}{y} = x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{y'}{y} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.4.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.4.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y'}{y} = 1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2.4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{y'}{y} = 1 + \ln (x) \cdot 1$

चरण 3.2.4.4

$\ln (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} = 1 + \ln (x)$

चरण 4

$y'$ को अलग करें और दाएं पक्ष में $y$ के लिए मूल फलन को प्रतिस्थापित करें.

$y' = (1 + \ln (x)) x^{x}$

चरण 5

दाएं पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' = 1 x^{x} + \ln (x) x^{x}$

चरण 5.2

$x^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$y' = x^{x} + \ln (x) x^{x}$

चरण 5.3

गुणनखंडों को $x^{x} + \ln (x) x^{x}$ में पुन: क्रमित करें.

$y' = x^{x} + x^{x} \ln (x)$