कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x^{2}}{x + y} = y^{2} + 1$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x + y}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 1)$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x + y$ है.

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{(x + y) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 2.2.2

$2$ को $x + y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot (x + y) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 2.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ है.

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 2.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(2 x + 2 y) x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 2.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x \cdot x + 2 y x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 2.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x \cdot x + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 2.4.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.4.1.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.4.1.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 2.4.4.1.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 2.4.4.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} + 2 y x - x^{2} - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 2.4.4.2

$2 x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$\frac{x^{2} + 2 y x - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 2.4.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{x^{2} + 2 x y - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 2.4.6

$x^{2} + 2 x y - x^{2} y'$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.6.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x + 2 x y - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 2.4.6.2

$2 x y$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x + x (2 y) - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 2.4.6.3

$- x^{2} y'$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x + x (2 y) + x (- x y')}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 2.4.6.4

$x \cdot x + x (2 y)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (x + 2 y) + x (- x y')}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 2.4.6.5

$x (x + 2 y) + x (- x y')$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 3.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 3.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 3.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 y y' + 0$

चरण 3.3.2

$2 y y'$ और $0$ जोड़ें.

$2 y y'$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

दोनों पक्षों को ${(x + y)}^{2}$ से गुणा करें.

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

चरण 5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

${(x + y)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

चरण 5.2.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x (x + 2 y - x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

चरण 5.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x \cdot x + x (2 y) + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

चरण 5.2.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.3.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$x^{2} + x (2 y) + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

चरण 5.2.1.3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$x^{2} + 2 x y + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

चरण 5.2.1.3.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$x^{2} + 2 x y - x (x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

चरण 5.2.1.4

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.4.1

$x$ ले जाएं.

$x^{2} + 2 x y - (x \cdot x) y' = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

चरण 5.2.1.4.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$x^{2} + 2 x y - x^{2} y' = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

चरण 5.2.1.5

$x^{2}$ ले जाएं.

$x^{2} + 2 x y - y' x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

चरण 5.2.1.6

$x^{2}$ ले जाएं.

$2 x y - y' x^{2} + x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

चरण 5.2.1.7

$2 x y$ और $- y' x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

चरण 5.3

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$2 y y' {(x + y)}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

फिर से लिखें.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 0 + 0 + 2 y y' {(x + y)}^{2}$

चरण 5.3.1.2

${(x + y)}^{2}$ को $(x + y) (x + y)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' ((x + y) (x + y))$

चरण 5.3.1.3

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + y) (x + y)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x (x + y) + y (x + y))$

चरण 5.3.1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x \cdot x + x y + y (x + y))$

चरण 5.3.1.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y)$

चरण 5.3.1.4

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.4.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y)$

चरण 5.3.1.4.1.2

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + y x + y^{2})$

चरण 5.3.1.4.2

$x y$ और $y x$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.4.2.1

$y$ और $x$ को पुन: क्रमित करें.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + x y + y^{2})$

चरण 5.3.1.4.2.2

$x y$ और $x y$ जोड़ें.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + 2 x y + y^{2})$

चरण 5.3.1.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y y' (2 x y) + 2 y y' y^{2}$

चरण 5.3.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.6.1

घातांक जोड़कर $y$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.6.1.1

$y$ ले जाएं.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 (y \cdot y) y' (2 x) + 2 y y' y^{2}$

चरण 5.3.1.6.1.2

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y y' y^{2}$

चरण 5.3.1.6.2

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.6.2.1

$y^{2}$ ले जाएं.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 (y^{2} y) y'$

चरण 5.3.1.6.2.2

$y^{2}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.6.2.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 (y^{2} y^{1}) y'$

चरण 5.3.1.6.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y^{2 + 1} y'$

चरण 5.3.1.6.2.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y^{3} y'$

चरण 5.3.1.7

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y'$

चरण 5.3.2

चूंकि $y'$ समीकरण के दाएं पक्ष की ओर है, पक्षों को स्विच करें ताकि यह समीकरण के बाएं पक्ष की ओर हो.

$2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' = - y' x^{2} + 2 x y + x^{2}$

चरण 5.3.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $y' x^{2}$ जोड़ें.

$2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' x^{2} = 2 x y + x^{2}$

चरण 5.3.4

$2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' x^{2}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

$2 y y' x^{2}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (2 y x^{2}) + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

चरण 5.3.4.2

$4 y^{2} y' x$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + 2 y^{3} y' + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

चरण 5.3.4.3

$2 y^{3} y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

चरण 5.3.4.4

$y' x^{2}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

चरण 5.3.4.5

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

चरण 5.3.4.6

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x) + y' (2 y^{3})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

चरण 5.3.4.7

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3}) + y' (x^{2})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

चरण 5.3.5

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$ के प्रत्येक पद को $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.5.1

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$ के प्रत्येक पद को $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2})}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} = \frac{2 x y}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} + \frac{x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

चरण 5.3.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.5.2.1

$2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

चरण 5.3.5.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{2 x y}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} + \frac{x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

चरण 5.3.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.5.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{2 x y + x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

चरण 5.3.5.3.2

$2 x y + x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.5.3.2.1

$2 x y$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{x (2 y) + x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

चरण 5.3.5.3.2.2

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{x (2 y) + x \cdot x}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

चरण 5.3.5.3.2.3

$x (2 y) + x \cdot x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{x (2 y + x)}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y + x)}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$