कैलकुलस उदाहरण

$x^{y} = y^{x}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x^{y}) = \frac{d}{d x} (y^{x})$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

सामान्यीकृत घात नियम का उपयोग करके अंतर करें जिसमें कहा गया है कि $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ है जहां $f = x$ और $g = y$ हैं.

$\frac{d}{d x} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

चरण 2.2.2

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$y x^{y - 1} + y' (x^{y} \ln (x))$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$

चरण 2.4.2

गुणनखंडों को $x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$ में पुन: क्रमित करें.

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

सामान्यीकृत घात नियम का उपयोग करके अंतर करें जिसमें कहा गया है कि $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ है जहां $f = y$ और $g = x$ हैं.

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x - 1}) + \frac{d}{d x} [x] (y^{x} \ln (y))$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' (x y^{x - 1}) + \frac{d}{d x} [x] (y^{x} \ln (y))$

चरण 3.3

$y' (x y^{x - 1}) + 1 (y^{x} \ln (y))$

चरण 3.4

$y^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$y' (x y^{x - 1}) + y^{x} \ln (y)$

चरण 3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y^{x - 1} x y' + y^{x} \ln (y)$

चरण 3.5.2

गुणनखंडों को $y^{x - 1} x y' + y^{x} \ln (y)$ में पुन: क्रमित करें.

$x y^{x - 1} y' + y^{x} \ln (y)$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y' = x y^{x - 1} y' + y^{x} \ln (y)$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$x^{y} \ln (x) y' - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$

चरण 5.2

गुणनखंडों को $x^{y} \ln (x) y' - y^{x} \ln (y)$ में पुन: क्रमित करें.

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$

चरण 5.3

गुणनखंडों को $- y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$ में पुन: क्रमित करें.

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y' y^{x - 1}$

चरण 5.4

गुणनखंडों को $y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y)$ में पुन: क्रमित करें.

$y' \ln (x) x^{y} - \ln (y) y^{x} = - y x^{y - 1} + x y' y^{x - 1}$

चरण 5.5

समीकरण के दोनों पक्षों से $x y' y^{x - 1}$ घटाएं.

$y' \ln (x) x^{y} - \ln (y) y^{x} - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1}$

चरण 5.6

समीकरण के दोनों पक्षों में $\ln (y) y^{x}$ जोड़ें.

$y' \ln (x) x^{y} - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

चरण 5.7

$y' \ln (x) x^{y} - x y' y^{x - 1}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

$y' \ln (x) x^{y}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (\ln (x) x^{y}) - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

चरण 5.7.2

$- x y' y^{x - 1}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (\ln (x) x^{y}) + y' (- x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

चरण 5.7.3

$y' (\ln (x) x^{y}) + y' (- x y^{x - 1})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

चरण 5.8

$y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$ के प्रत्येक पद को $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1

$y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$ के प्रत्येक पद को $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

चरण 5.8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.2.1

$\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

चरण 5.8.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

चरण 5.8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{- y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

चरण 5.8.3.2

$- y x^{y - 1}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (y x^{y - 1}) + \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

चरण 5.8.3.3

$\ln (y) y^{x}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (y x^{y - 1}) - (- \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

चरण 5.8.3.4

$- (y x^{y - 1}) - (- \ln (y) y^{x})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

चरण 5.8.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.3.5.1

$- (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})$ को $- 1 (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{- 1 (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

चरण 5.8.3.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$