कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ ; $[1, 4]$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$

चरण 1.2

$x$ के लिए $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$4, 8 x^{2}, 1 + y = 0$

चरण 1.2.1.2

Since $4, 8 x^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 8, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}$ .

चरण 1.2.1.3

LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जिसे सभी संख्याएँ समान रूप से विभाजित करती हैं.

$1$ प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंडों की सूची बनाएंं.

चरण 1.2.1.4

$4$ के गुणनखंड $2$ और $2$ हैं.

$2 \cdot 2 + y = 0$

चरण 1.2.1.5

$8$ के अभाज्य गुणन खंड $2 \cdot 2 \cdot 2$ हैं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.5.1

$8$ के गुणनखंड $2$ और $4$ हैं.

$2 \cdot 4$

चरण 1.2.1.5.2

$4$ के गुणनखंड $2$ और $2$ हैं.

$2 \cdot 2 \cdot 2$

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

चरण 1.2.1.6

संख्या $1$ एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि इसका केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, जो स्वयं है.

Not $p r i m e + y = 0$

चरण 1.2.1.7

$4, 8, 1$ का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सभी अभाज्य गुणन खंड में से किसी एक संख्या में आने वाली सबसे बड़ी संख्या को गुणा करने का परिणाम है.

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

चरण 1.2.1.8

$2 \cdot 2 \cdot 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.8.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 \cdot 2 + y = 0$

चरण 1.2.1.8.2

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$8 + y = 0$

चरण 1.2.1.9

$x^{2}$ के गुणनखंड $x \cdot x$ हैं, जो कि $x$ को एक दूसरे से $2$ बार गुणा करते हैं.

$x^{2} = x \cdot x$

चरण 1.2.1.10

$x^{2}$ का LCM (न्यूनतम सामान्य गुणक) सभी अभाज्य गुणन खंडों को किसी भी पद में जितनी बार वे आते हैं, गुणा करने का परिणाम है.

$x \cdot x + y = 0$

चरण 1.2.1.11

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$x^{2} + y = 0$

चरण 1.2.1.12

$4, 8 x^{2}, 1$ के लिए LCM (लघुत्तम समापवर्तक) संख्यात्मक भाग $8$ को चर भाग से गुणा किया जाता है.

$8 x^{2} + y = 0$

चरण 1.2.2

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ के प्रत्येक पद को $8 x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ के प्रत्येक पद को $8 x^{2}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{4}}{4} (8 x^{2}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

चरण 1.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$8 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

चरण 1.2.2.2.1.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1.2.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 (2) \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

चरण 1.2.2.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \cdot 2 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

चरण 1.2.2.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 x^{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

चरण 1.2.2.2.1.3

घातांक जोड़कर $x^{4}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1.3.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$2 (x^{2} x^{4}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

चरण 1.2.2.2.1.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 x^{2 + 4} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

चरण 1.2.2.2.1.3.3

$2$ और $4$ जोड़ें.

$2 x^{6} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

चरण 1.2.2.2.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

चरण 1.2.2.2.1.5

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1.5.1

$8 x^{2}$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 (x^{2})} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

चरण 1.2.2.2.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

चरण 1.2.2.2.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

चरण 1.2.2.2.1.6

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

चरण 1.2.2.2.1.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 x^{6} + 1 = 0 (8 x^{2})$

चरण 1.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.3.1

$0 (8 x^{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.3.1.1

$8$ को $0$ से गुणा करें.

$2 x^{6} + 1 = 0 x^{2}$

चरण 1.2.2.3.1.2

$0$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

$2 x^{6} + 1 = 0$

चरण 1.2.3

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$2 x^{6} = - 1$

चरण 1.2.3.2

$2 x^{6} = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$2 x^{6} = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 1.2.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 1.2.3.2.2.1.2

$x^{6}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{6} = \frac{- 1}{2}$

चरण 1.2.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x^{6} = - \frac{1}{2}$

चरण 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$

चरण 1.2.3.4

$\pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.4.1

$- \frac{1}{2}$ को $i^{6} \frac{1^{6}}{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.4.1.1

$- 1$ को $i^{6}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1}{2}}$

चरण 1.2.3.4.1.2

$1$ को $1^{6}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1^{6}}{2}}$

चरण 1.2.3.4.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1^{6}}{2}}$

चरण 1.2.3.4.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1}{2}}$

चरण 1.2.3.4.4

$\sqrt[6]{\frac{1}{2}}$ को $\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$

चरण 1.2.3.4.5

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt[6]{2}}$

चरण 1.2.3.4.6

$i$ और $\frac{1}{\sqrt[6]{2}}$ को मिलाएं.

$x = \pm \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

चरण 1.2.3.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

चरण 1.2.3.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

चरण 1.2.3.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}, - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

चरण 1.3

$\frac{i}{\sqrt[6]{2}}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 0$

चरण 1.4

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

चरण 2

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x - \int_{1}^{4} 0 d x$

चरण 3

$1$ और $4$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} - (0) d x$

चरण 3.2

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ में से $0$ घटाएं.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x$

चरण 3.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

चरण 3.4

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{4} x^{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

चरण 3.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} x^{5}$ है.

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

चरण 3.6

चूँकि $\frac{1}{8}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{8}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x$

चरण 3.7

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

$x^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x$

चरण 3.7.2

घातांक को ${(x^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x$

चरण 3.7.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{- 2} d x$

चरण 3.8

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- 2}$ का समाकलन $- x^{- 1}$ है.

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

चरण 3.9

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1

$4$ पर और $1$ पर $\frac{1}{5} x^{5}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{5} \cdot 4^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

चरण 3.9.2

$4$ पर और $1$ पर $- x^{- 1}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 4^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

चरण 3.9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.3.1

$4$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1024 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

चरण 3.9.3.2

$\frac{1}{5}$ और $1024$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

चरण 3.9.3.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

चरण 3.9.3.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

चरण 3.9.3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1024 - 1}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

चरण 3.9.3.6

$1024$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1023}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

चरण 3.9.3.7

$\frac{1}{4}$ को $\frac{1023}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{1023}{4 \cdot 5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

चरण 3.9.3.8

$4$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

चरण 3.9.3.9

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

चरण 3.9.3.10

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1)$

चरण 3.9.3.11

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

चरण 3.9.3.12

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 1 + 4}{4}$

चरण 3.9.3.13

$- 1$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{4}$

चरण 3.9.3.14

$\frac{1}{8}$ को $\frac{3}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{8 \cdot 4}$

चरण 3.9.3.15

$8$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{32}$

चरण 3.9.3.16

$\frac{1023}{20}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32}$

चरण 3.9.3.17

$\frac{3}{32}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

चरण 3.9.3.18

प्रत्येक व्यंजक को $160$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.3.18.1

$\frac{1023}{20}$ को $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{1023 \cdot 8}{20 \cdot 8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

चरण 3.9.3.18.2

$20$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

चरण 3.9.3.18.3

$\frac{3}{32}$ को $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{32 \cdot 5}$

चरण 3.9.3.18.4

$32$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{160}$

चरण 3.9.3.19

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1023 \cdot 8 + 3 \cdot 5}{160}$

चरण 3.9.3.20

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.3.20.1

$1023$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{8184 + 3 \cdot 5}{160}$

चरण 3.9.3.20.2

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{8184 + 15}{160}$

चरण 3.9.3.20.3

$8184$ और $15$ जोड़ें.

$\frac{8199}{160}$

चरण 4