कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{2} - 3$ , $[0, 6]$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$x^{2} - 3 = 0$

चरण 1.2

$x$ के लिए $x^{2} - 3 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x^{2} = 3$

चरण 1.2.2

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{3}$

चरण 1.2.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \sqrt{3}$

चरण 1.2.3.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \sqrt{3}$

चरण 1.2.3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

चरण 1.3

$\sqrt{3}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 0$

चरण 1.4

सिस्टम का हल क्रमित युग्म का पूरा सेट है जो मान्य हल हैं.

$(\sqrt{3}, 0)$

$(- \sqrt{3}, 0)$

$(\sqrt{3}, 0)$

$(- \sqrt{3}, 0)$

चरण 2

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{0}^{\sqrt{3}} 0 d x - \int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} - 3 d x$

चरण 3

$0$ और $\sqrt{3}$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} 0 - (x^{2} - 3) d x$

चरण 3.2

$0$ में से $x^{2} - 3$ घटाएं.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - (x^{2} - 3) d x$

चरण 3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - x^{2} + 3 d x$

चरण 3.4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

चरण 3.5

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

चरण 3.6

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

चरण 3.7

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

चरण 3.8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + 3 x]_{0}^{\sqrt{3}}$

चरण 3.9

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1.1

$\sqrt{3}$ पर और $0$ पर $\frac{x^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$- ((\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 x]_{0}^{\sqrt{3}}$

चरण 3.9.1.2

$\sqrt{3}$ पर और $0$ पर $3 x$ का मान ज्ञात करें.

$- (\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

चरण 3.9.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1.3.1

${\sqrt{3}}^{3}$ को $\sqrt{3^{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (\frac{\sqrt{3^{3}}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

चरण 3.9.1.3.2

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

चरण 3.9.1.3.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

चरण 3.9.1.3.4

$0$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1.3.4.1

$0$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

चरण 3.9.1.3.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1.3.4.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

चरण 3.9.1.3.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

चरण 3.9.1.3.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0}{1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

चरण 3.9.1.3.4.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - 0) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

चरण 3.9.1.3.5

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} + 0) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

चरण 3.9.1.3.6

$\frac{\sqrt{27}}{3}$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

चरण 3.9.1.3.7

$- 3$ को $0$ से गुणा करें.

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3} + 0$

चरण 3.9.1.3.8

$3 \sqrt{3}$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3}$

चरण 3.9.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.2.1

$27$ को $3^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.2.1.1

$27$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3} + 3 \sqrt{3}$

चरण 3.9.2.1.2

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

चरण 3.9.2.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

चरण 3.9.2.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

चरण 3.9.2.3.2

$\sqrt{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}$

चरण 3.9.2.4

$- \sqrt{3}$ और $3 \sqrt{3}$ जोड़ें.

$2 \sqrt{3}$

चरण 4

$A r e a = \int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 d x - \int_{\sqrt{3}}^{6} 0 d x$

चरण 5

$\sqrt{3}$ और $6$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 - (0) d x$

चरण 5.2

$x^{2} - 3$ में से $0$ घटाएं.

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 d x$

चरण 5.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} d x + \int_{\sqrt{3}}^{6} - 3 d x$

चरण 5.4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6} + \int_{\sqrt{3}}^{6} - 3 d x$

चरण 5.5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6} + - 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$

चरण 5.6

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6}$ और $- 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$

चरण 5.6.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1

$6$ पर और $\sqrt{3}$ पर $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} - 3 \cdot 6) - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

चरण 5.6.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.2.1

$6$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{3} \cdot 216 - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

चरण 5.6.2.2.2

$\frac{1}{3}$ और $216$ को मिलाएं.

$\frac{216}{3} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

चरण 5.6.2.2.3

$216$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.2.3.1

$216$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 72}{3} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

चरण 5.6.2.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.2.3.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

चरण 5.6.2.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

चरण 5.6.2.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{72}{1} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

चरण 5.6.2.2.3.2.4

$72$ को $1$ से विभाजित करें.

$72 - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

चरण 5.6.2.2.4

$- 3$ को $6$ से गुणा करें.

$72 - 18 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

चरण 5.6.2.2.5

$72$ में से $18$ घटाएं.

$54 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

चरण 5.6.2.2.6

${\sqrt{3}}^{3}$ को $\sqrt{3^{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$54 - (\frac{1}{3} \sqrt{3^{3}} - 3 \sqrt{3})$

चरण 5.6.2.2.7

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$54 - (\frac{1}{3} \sqrt{27} - 3 \sqrt{3})$

चरण 5.6.2.2.8

$\frac{1}{3}$ और $\sqrt{27}$ को मिलाएं.

$54 - (\frac{\sqrt{27}}{3} - 3 \sqrt{3})$

चरण 5.6.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.3.1

$27$ को $3^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.3.1.1

$27$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$54 - (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3} - 3 \sqrt{3})$

चरण 5.6.3.1.2

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$54 - (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

चरण 5.6.3.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$54 - (\frac{3 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

चरण 5.6.3.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$54 - (\frac{3 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

चरण 5.6.3.3.2

$\sqrt{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

$54 - (\sqrt{3} - 3 \sqrt{3})$

चरण 5.6.3.4

$\sqrt{3}$ में से $3 \sqrt{3}$ घटाएं.

$54 - (- 2 \sqrt{3})$

चरण 5.6.3.5

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$54 + 2 \sqrt{3}$

चरण 6

$2 \sqrt{3}$ और $2 \sqrt{3}$ जोड़ें.

$54 + 4 \sqrt{3}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$54 + 4 \sqrt{3}$

दशमलव रूप:

$60.92820323 \dots$

चरण 8