कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{e^{x}}{x^{3}}$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x^{3}$ है.

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

चरण 1.2

घातांक को ${(x^{3})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

चरण 1.2.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

चरण 1.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

चरण 1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

चरण 1.4.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

गुणनखंडों को $x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

चरण 1.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

चरण 1.5.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

$e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1.1

$e^{x} x^{3}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (e^{x} x) - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

चरण 1.5.3.1.2

$- 3 e^{x} x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})}{x^{6}}$

चरण 1.5.3.1.3

$x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (e^{x} x - 3 e^{x})}{x^{6}}$

चरण 1.5.3.2

$e^{x} x - 3 e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.1

$e^{x} x$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) - 3 e^{x})}{x^{6}}$

चरण 1.5.3.2.2

$- 3 e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3)}{x^{6}}$

चरण 1.5.3.2.3

$e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

$\frac{x^{2} e^{x} (x - 3)}{x^{6}}$

चरण 1.5.4

$x^{2}$ और $x^{6}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.1

$x^{2} e^{x} (x - 3)$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

चरण 1.5.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1

$x^{6}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

चरण 1.5.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

चरण 1.5.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}}$

चरण 2.2

घातांक को ${(x^{4})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}}$

चरण 2.2.2

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

चरण 2.3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x - 3$ है.

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

चरण 2.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

चरण 2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

चरण 2.4.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

चरण 2.4.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

चरण 2.4.4.2

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

चरण 2.5

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

चरण 2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - e^{x} (x - 3) (4 x^{3})}{x^{8}}$

चरण 2.6.2

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}}{x^{8}}$

चरण 2.6.2.2

$x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.2.1

$x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x})$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}}{x^{8}}$

चरण 2.6.2.2.2

$- 4 e^{x} (x - 3) x^{3}$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) + x^{3} (- 4 e^{x} (x - 3))}{x^{8}}$

चरण 2.6.2.2.3

$x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) + x^{3} (- 4 e^{x} (x - 3))$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{8}}$

चरण 2.7

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$x^{8}$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{3} x^{5}}$

चरण 2.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{3} x^{5}}$

चरण 2.7.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}}$

चरण 2.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + x e^{x} - 3 e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}}$

चरण 2.8.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}}$

चरण 2.8.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

चरण 2.8.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.4.1.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.4.1.1.1

$x$ ले जाएं.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x \cdot x e^{x} + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

चरण 2.8.4.1.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

चरण 2.8.4.1.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

चरण 2.8.4.1.3

$- 3$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 4 e^{x} x + 12 e^{x}}{x^{5}}$

चरण 2.8.4.2

$x e^{x}$ में से $3 x e^{x}$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{- 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} - 4 e^{x} x + 12 e^{x}}{x^{5}}$

चरण 2.8.4.3

$- 2 x e^{x}$ में से $4 e^{x} x$ घटाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.4.3.1

$e^{x}$ ले जाएं.

$f'' (x) = \frac{- 2 x e^{x} - 4 x e^{x} + x^{2} e^{x} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

चरण 2.8.4.3.2

$- 2 x e^{x}$ में से $4 x e^{x}$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{- 6 x e^{x} + x^{2} e^{x} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

चरण 2.8.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f'' (x) = \frac{- 6 e^{x} x + e^{x} x^{2} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

चरण 2.8.6

$- 6 e^{x} x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x) + e^{x} x^{2} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

चरण 2.8.7

$e^{x} x^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x) - (- e^{x} x^{2}) + 12 e^{x}}{x^{5}}$

चरण 2.8.8

$- (6 e^{x} x) - (- e^{x} x^{2})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2}) + 12 e^{x}}{x^{5}}$

चरण 2.8.9

$12 e^{x}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2}) - (- 12 e^{x})}{x^{5}}$

चरण 2.8.10

$- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2}) - (- 12 e^{x})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})}{x^{5}}$

चरण 2.8.11

$- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})$ को $- 1 (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{- 1 (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})}{x^{5}}$

चरण 2.8.12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x}}{x^{5}}$

चरण 2.8.13

गुणनखंडों को $- \frac{6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x}}{x^{5}}$ में पुन: क्रमित करें.

$f'' (x) = - \frac{6 x e^{x} - x^{2} e^{x} - 12 e^{x}}{x^{5}}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

चरण 4.1.2

घातांक को ${(x^{3})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

चरण 4.1.2.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

चरण 4.1.3

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

चरण 4.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

चरण 4.1.4.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

चरण 4.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.1

गुणनखंडों को $x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

चरण 4.1.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

चरण 4.1.5.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.3.1

$e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.3.1.1

$e^{x} x^{3}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (e^{x} x) - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

चरण 4.1.5.3.1.2

$- 3 e^{x} x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})}{x^{6}}$

चरण 4.1.5.3.1.3

$x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (e^{x} x - 3 e^{x})}{x^{6}}$

चरण 4.1.5.3.2

$e^{x} x - 3 e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.3.2.1

$e^{x} x$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) - 3 e^{x})}{x^{6}}$

चरण 4.1.5.3.2.2

$- 3 e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3)}{x^{6}}$

चरण 4.1.5.3.2.3

$e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

$\frac{x^{2} e^{x} (x - 3)}{x^{6}}$

चरण 4.1.5.4

$x^{2}$ और $x^{6}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.4.1

$x^{2} e^{x} (x - 3)$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

चरण 4.1.5.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.4.2.1

$x^{6}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

चरण 4.1.5.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

चरण 4.1.5.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$ है.

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$

चरण 5.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$e^{x} (x - 3) = 0$

चरण 5.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$e^{x} = 0$

$x - 3 = 0$

चरण 5.3.2

$e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{x} = 0$

चरण 5.3.2.2

$x$ के लिए $e^{x} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

चरण 5.3.2.2.2

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (0)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 5.3.2.2.3

$e^{x} = 0$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 5.3.3

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 5.3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 5.3.4

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $e^{x} (x - 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 3$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{4} = 0$

चरण 6.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

चरण 6.2.2

$\pm \sqrt[4]{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$0$ को $0^{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

चरण 6.2.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 0$

चरण 6.2.2.3

जोड़ या घटाव $0$ , $0$ है.

$x = 0$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = 3$

चरण 8

$x = 3$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \frac{6 (3) e^{3} - {(3)}^{2} e^{3} - 12 e^{3}}{{(3)}^{5}}$

चरण 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$6$ को $3$ से गुणा करें.

$- \frac{18 e^{3} - 3^{2} e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

चरण 9.1.2

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{18 e^{3} - 1 \cdot 9 e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

चरण 9.1.3

$- 1$ को $9$ से गुणा करें.

$- \frac{18 e^{3} - 9 e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

चरण 9.1.4

$18 e^{3}$ में से $9 e^{3}$ घटाएं.

$- \frac{9 e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

चरण 9.1.5

$9 e^{3}$ में से $12 e^{3}$ घटाएं.

$- \frac{- 3 e^{3}}{3^{5}}$

चरण 9.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$3$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{- 3 e^{3}}{243}$

चरण 9.2.2

$- 3$ और $243$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

$- 3 e^{3}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{3 (- e^{3})}{243}$

चरण 9.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.2.1

$243$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{3 (- e^{3})}{3 (81)}$

चरण 9.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{3 (- e^{3})}{3 \cdot 81}$

चरण 9.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{- e^{3}}{81}$

चरण 9.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- - \frac{e^{3}}{81}$

चरण 9.3

$- - \frac{e^{3}}{81}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{e^{3}}{81}$

चरण 9.3.2

$\frac{e^{3}}{81}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{3}}{81}$

चरण 10

$x = 3$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 3$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 11

$x = 3$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f (3) = \frac{e^{3}}{{(3)}^{3}}$

चरण 11.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (3) = \frac{e^{3}}{27}$

चरण 11.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{e^{3}}{27}$ है.

$y = \frac{e^{3}}{27}$

चरण 12

ये $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{3}}$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(3, \frac{e^{3}}{27})$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 13