कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 8 x + 1} - x$

चरण 1

न्यूमेरेटर को युक्तिसंगत बनाने के लिए गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} - x) (\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x)}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

FOIL विधि का उपयोग करके न्यूमेरेटर का विस्तार करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + 8 x + 1} x + \sqrt{x^{2} + 8 x + 1} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x}$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x}$

चरण 2.2.2

$8 x + 1$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 8 x + 1} + x}$

चरण 3

न्यूमेरेटर और भाजक को भाजक में $x$ की उच्चतम घात से विभाजित करें, जो कि $x = \sqrt{x^{2}}$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

चरण 4

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

चरण 4.1.2

$8$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

चरण 4.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

चरण 4.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

चरण 4.2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{8 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

चरण 4.2.2.2

$x$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.2.1

$8 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 8}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

चरण 4.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.2.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

चरण 4.2.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

चरण 4.2.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

चरण 4.3

जैसे ही $x$ $\infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

चरण 4.4

जैसे-जैसे $x$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

चरण 4.5

$8$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{8 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

चरण 5

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{x}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$\frac{8 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + 1}$

चरण 6

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{8 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 6.2

रेडिकल साइन के तहत सीमा को स्थानांतरित करें.

$\frac{8 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 6.3

$\frac{8 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 6.4

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 6.5

$8$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 7

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + 8 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 8

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + 8 \cdot 0 + 0} + lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 9

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{8 + 0}{\sqrt{1 + 8 \cdot 0 + 0} + 1}$

चरण 9.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$8$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{8}{\sqrt{1 + 8 \cdot 0 + 0} + 1}$

चरण 9.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

$8$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{8}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1}$

चरण 9.2.2.2

$1 + 0$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{8}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

चरण 9.2.2.3

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{8}{\sqrt{1} + 1}$

चरण 9.2.2.4

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$\frac{8}{1 + 1}$

चरण 9.2.2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{8}{2}$

चरण 9.2.3

$8$ को $2$ से विभाजित करें.

$4$