कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x + 1$ और $g (x) = x - 1$ है.

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2.4.2

$x - 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2.6

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2.7

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.8.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.2.8.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$x - 1 - x - 1 \cdot 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1.1

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.3.2.1.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.3.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.3.2.3

$- 1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 1.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$ है.

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$

चरण 2.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ को ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 2 \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

चरण 2.1.2.2

घातांक को ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

चरण 2.1.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 2}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 2}$ और $g (x) = x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 1$ के रूप में सेट करें.

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$- 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$- 2 (- 2 {(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$4 ({(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

चरण 2.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$4 {(x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.3.3

$4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 2.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + 0)$

चरण 2.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$4 {(x - 1)}^{- 3} \cdot 1$

चरण 2.3.5.2

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 {(x - 1)}^{- 3}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 \frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 2.4.2

$4$ और $\frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$ है.

$\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$