कैलकुलस उदाहरण

$\frac{6}{x^{2} - 16}$

चरण 1

$\frac{6}{x^{2} - 16}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{6}{x^{2} - 16}$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{6}{x^{2} - 16}$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 16}]$ है.

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} - 16})$

चरण 2.1.1.2

$\frac{1}{x^{2} - 16}$ को ${(x^{2} - 16)}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 16)}^{- 1})$

चरण 2.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x^{2} - 16$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} - 16$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

चरण 2.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$f' (x) = 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

चरण 2.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 16$ से बदलें.

$f' (x) = 6 (- {(x^{2} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

चरण 2.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

$- 1$ को $6$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 6 ({(x^{2} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

चरण 2.1.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 16$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ है.

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))$

चरण 2.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))$

चरण 2.1.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 16$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 16$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x + 0)$

चरण 2.1.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.5.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x)$

चरण 2.1.3.5.2

$2$ को $- 6$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 12 {(x^{2} - 16)}^{- 2} x$

चरण 2.1.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = - 12 \frac{1}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

चरण 2.1.5

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.1

$- 12$ और $\frac{1}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{- 12}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

चरण 2.1.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = - \frac{12}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

चरण 2.1.5.3

$x$ और $\frac{12}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = - \frac{x \cdot 12}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 2.1.5.4

$12$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = - \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ है.

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}} = 0$

चरण 3.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$12 x = 0$

चरण 3.3

$12 x = 0$ के प्रत्येक पद को $12$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$12 x = 0$ के प्रत्येक पद को $12$ से विभाजित करें.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

चरण 3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$12$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

चरण 3.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{12}$

चरण 3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$0$ को $12$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 4

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $0$ हैं.

$0$

चरण 5

पता लगाएं कि व्युत्पन्न कहां अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

${(x^{2} - 16)}^{2} = 0$

चरण 5.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

${(x^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

चरण 5.2.1.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 4$ .

${((x + 4) (x - 4))}^{2} = 0$

चरण 5.2.1.3

उत्पाद नियम को $(x + 4) (x - 4)$ पर लागू करें.

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

चरण 5.2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

चरण 5.2.3

${(x + 4)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

${(x + 4)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x + 4)}^{2} = 0$

चरण 5.2.3.2

$x$ के लिए ${(x + 4)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.2.1

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 4 = 0$

चरण 5.2.3.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x = - 4$

चरण 5.2.4

${(x - 4)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

${(x - 4)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x - 4)}^{2} = 0$

चरण 5.2.4.2

$x$ के लिए ${(x - 4)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.2.1

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 4 = 0$

चरण 5.2.4.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x = 4$

चरण 5.2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 4, 4$

चरण 5.3

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x = - 4, x = 4$

चरण 6

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - 4)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 5$ से बदलें.

$f' (- 5) = - \frac{12 (- 5)}{{({(- 5)}^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$12$ को $- 5$ से गुणा करें.

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{{({(- 5)}^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 7.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$- 5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{{(25 - 16)}^{2}}$

चरण 7.2.2.2

$25$ में से $16$ घटाएं.

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{9^{2}}$

चरण 7.2.2.3

$9$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{81}$

चरण 7.2.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

$- 60$ और $81$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.1

$- 60$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f' (- 5) = - \frac{3 (- 20)}{81}$

चरण 7.2.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1.2.1

$81$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f' (- 5) = - \frac{3 \cdot - 20}{3 \cdot 27}$

चरण 7.2.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (- 5) = - \frac{3 \cdot - 20}{3 \cdot 27}$

चरण 7.2.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- 5) = - \frac{- 20}{27}$

चरण 7.2.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (- 5) = \frac{20}{27}$

चरण 7.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{20}{27}$ है.

$\frac{20}{27}$

चरण 7.3

$x = - 5$ पर व्युत्पन्न $\frac{20}{27}$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, - 4)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - 4)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 4, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f' (- 2) = - \frac{12 (- 2)}{{({(- 2)}^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$12$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{({(- 2)}^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 8.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{(4 - 16)}^{2}}$

चरण 8.2.2.2

$4$ में से $16$ घटाएं.

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{(- 12)}^{2}}$

चरण 8.2.2.3

$- 12$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{144}$

चरण 8.2.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1

$- 24$ और $144$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1.1

$- 24$ में से $24$ का गुणनखंड करें.

$f' (- 2) = - \frac{24 (- 1)}{144}$

चरण 8.2.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1.2.1

$144$ में से $24$ का गुणनखंड करें.

$f' (- 2) = - \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 6}$

चरण 8.2.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (- 2) = - \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 6}$

चरण 8.2.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- 2) = - \frac{- 1}{6}$

चरण 8.2.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (- 2) = \frac{1}{6}$

चरण 8.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{1}{6}$ है.

$\frac{1}{6}$

चरण 8.3

$x = - 2$ पर व्युत्पन्न $\frac{1}{6}$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- 4, 0)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- 4, 0)$ पर बढ़ रहा है

चरण 9

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, 4)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = - \frac{12 (2)}{{({(2)}^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 9.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$12$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (2) = - \frac{24}{{(2^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 9.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2) = - \frac{24}{{(4 - 16)}^{2}}$

चरण 9.2.2.2

$4$ में से $16$ घटाएं.

$f' (2) = - \frac{24}{{(- 12)}^{2}}$

चरण 9.2.2.3

$- 12$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2) = - \frac{24}{144}$

चरण 9.2.3

$24$ और $144$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.1

$24$ में से $24$ का गुणनखंड करें.

$f' (2) = - \frac{24 (1)}{144}$

चरण 9.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.2.1

$144$ में से $24$ का गुणनखंड करें.

$f' (2) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 6}$

चरण 9.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (2) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 6}$

चरण 9.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (2) = - \frac{1}{6}$

चरण 9.2.4

अंतिम उत्तर $- \frac{1}{6}$ है.

$- \frac{1}{6}$

चरण 9.3

$x = 2$ पर व्युत्पन्न $- \frac{1}{6}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(0, 4)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(0, 4)$ पर घटता हुआ

चरण 10

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(4, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

व्यंजक में चर $x$ को $5$ से बदलें.

$f' (5) = - \frac{12 (5)}{{({(5)}^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 10.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$12$ को $5$ से गुणा करें.

$f' (5) = - \frac{60}{{(5^{2} - 16)}^{2}}$

चरण 10.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (5) = - \frac{60}{{(25 - 16)}^{2}}$

चरण 10.2.2.2

$25$ में से $16$ घटाएं.

$f' (5) = - \frac{60}{9^{2}}$

चरण 10.2.2.3

$9$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (5) = - \frac{60}{81}$

चरण 10.2.3

$60$ और $81$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1

$60$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f' (5) = - \frac{3 (20)}{81}$

चरण 10.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.2.1

$81$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f' (5) = - \frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 27}$

चरण 10.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (5) = - \frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 27}$

चरण 10.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (5) = - \frac{20}{27}$

चरण 10.2.4

अंतिम उत्तर $- \frac{20}{27}$ है.

$- \frac{20}{27}$

चरण 10.3

$x = 5$ पर व्युत्पन्न $- \frac{20}{27}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(4, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(4, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 11

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, - 4), (- 4, 0)$

इस पर घटता हुआ: $(0, 4), (4, \infty)$

चरण 12