कैलकुलस उदाहरण

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ है.

$f' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2.1.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ है.

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

घातांक को ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

चरण 2.1.3.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 2.1.3.3

${(x^{2} + 1)}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 2.1.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + 1$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 2.1.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 2.1.4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 2.1.5

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 2.1.5.2

${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ में से $x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.5.2.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ में से $x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 2.1.5.2.2

$- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ में से $x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 2.1.5.2.3

$(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ में से $x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 2.1.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.6.1

${(x^{2} + 1)}^{4}$ में से $x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.9

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.10

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.10.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.10.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.11

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.12

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.13

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.14

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.15

$x^{2}$ में से $4 x^{2}$ घटाएं.

$f' (x) = - 2 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.16

$- 2$ और $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{- 2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.17

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = - \frac{(2) (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.18

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.18.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.18.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.18.2.1

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.18.2.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.18.3

$- 6 x^{2} + 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.18.3.1

$- 6 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.18.3.2

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.18.3.3

$2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.18.4

$- 3 x^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.18.5

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.18.6

$- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.18.7

$- (3 x^{2} - 1)$ को $- 1 (3 x^{2} - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = - \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.18.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.1.18.9

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 1 (\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

चरण 2.1.18.10

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ है.

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

चरण 3.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 (3 x^{2} - 1) = 0$

चरण 3.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$2 (3 x^{2} - 1) = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

$2 (3 x^{2} - 1) = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 3.3.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 3.3.1.2.1.2

$3 x^{2} - 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$3 x^{2} - 1 = \frac{0}{2}$

चरण 3.3.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.3.1

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$3 x^{2} - 1 = 0$

चरण 3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$3 x^{2} = 1$

चरण 3.3.3

$3 x^{2} = 1$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$3 x^{2} = 1$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

चरण 3.3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

चरण 3.3.3.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

चरण 3.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

चरण 3.3.5

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.1

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ को $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

चरण 3.3.5.2

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

चरण 3.3.5.3

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

चरण 3.3.5.4

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.4.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 3.3.5.4.2

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

चरण 3.3.5.4.3

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

चरण 3.3.5.4.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

चरण 3.3.5.4.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 3.3.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.4.6.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.3.5.4.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.3.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.3.5.4.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.4.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.3.5.4.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

चरण 3.3.5.4.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

चरण 3.3.6

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

चरण 3.3.6.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

चरण 3.3.6.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

चरण 4

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$ हैं.

$\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1.57735026$ से बदलें.

$f' (- 1.57735026) = \frac{2 (3 {(- 1.57735026)}^{2} - 1)}{{({(- 1.57735026)}^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 1.57735026$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1.57735026) = \frac{2 (3 \cdot 2.48803384 - 1)}{{({(- 1.57735026)}^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 6.2.1.2

$3$ को $2.48803384$ से गुणा करें.

$f' (- 1.57735026) = \frac{2 (7.46410152 - 1)}{{({(- 1.57735026)}^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 6.2.1.3

$7.46410152$ में से $1$ घटाएं.

$f' (- 1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{{({(- 1.57735026)}^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 6.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$- 1.57735026$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{{(2.48803384 + 1)}^{3}}$

चरण 6.2.2.2

$2.48803384$ और $1$ जोड़ें.

$f' (- 1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{{3.48803384}^{3}}$

चरण 6.2.2.3

$3.48803384$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{42.43674549}$

चरण 6.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

$2$ को $6.46410152$ से गुणा करें.

$f' (- 1.57735026) = \frac{12.92820305}{42.43674549}$

चरण 6.2.3.2

$12.92820305$ को $42.43674549$ से विभाजित करें.

$f' (- 1.57735026) = 0.30464643$

चरण 6.2.4

अंतिम उत्तर $0.30464643$ है.

$0.30464643$

चरण 6.3

$x = - 1.57735026$ पर व्युत्पन्न $0.30464643$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} - 1)}{{({(0)}^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 7.2.1.2

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$f' (0) = \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 7.2.1.3

$0$ में से $1$ घटाएं.

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 7.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{3}}$

चरण 7.2.2.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{1^{3}}$

चरण 7.2.2.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (0) = \frac{2 \cdot - 1}{1}$

चरण 7.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (0) = \frac{- 2}{1}$

चरण 7.2.3.2

$- 2$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (0) = - 2$

चरण 7.2.4

अंतिम उत्तर $- 2$ है.

$- 2$

चरण 7.3

$x = 0$ पर व्युत्पन्न $- 2$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ पर घटता हुआ

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $1.57735026$ से बदलें.

$f' (1.57735026) = \frac{2 (3 {(1.57735026)}^{2} - 1)}{{({(1.57735026)}^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$1.57735026$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (1.57735026) = \frac{2 (3 \cdot 2.48803384 - 1)}{{({1.57735026}^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 8.2.1.2

$3$ को $2.48803384$ से गुणा करें.

$f' (1.57735026) = \frac{2 (7.46410152 - 1)}{{({1.57735026}^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 8.2.1.3

$7.46410152$ में से $1$ घटाएं.

$f' (1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{{({1.57735026}^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 8.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$1.57735026$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{{(2.48803384 + 1)}^{3}}$

चरण 8.2.2.2

$2.48803384$ और $1$ जोड़ें.

$f' (1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{{3.48803384}^{3}}$

चरण 8.2.2.3

$3.48803384$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (1.57735026) = \frac{2 \cdot 6.46410152}{42.43674549}$

चरण 8.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1

$2$ को $6.46410152$ से गुणा करें.

$f' (1.57735026) = \frac{12.92820305}{42.43674549}$

चरण 8.2.3.2

$12.92820305$ को $42.43674549$ से विभाजित करें.

$f' (1.57735026) = 0.30464643$

चरण 8.2.4

अंतिम उत्तर $0.30464643$ है.

$0.30464643$

चरण 8.3

$x = 1.57735026$ पर व्युत्पन्न $0.30464643$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 9

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

चरण 10