कैलकुलस उदाहरण

$- x^{3} + 6 x^{2} - 18$

चरण 1

$- x^{3} + 6 x^{2} - 18$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 18$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- x^{3} + 6 x^{2} - 18$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ है.

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

चरण 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{3}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

चरण 2.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

चरण 2.1.2.3

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x^{2}$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$- 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18]$

चरण 2.1.3.3

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$- 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 18]$

चरण 2.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 18$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 18$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 3 x^{2} + 12 x + 0$

चरण 2.1.4.2

$- 3 x^{2} + 12 x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 3 x^{2} + 12 x$ है.

$- 3 x^{2} + 12 x$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 3 x^{2} + 12 x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 3 x^{2} + 12 x = 0$

चरण 3.2

$- 3 x^{2} + 12 x$ में से $- 3 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- 3 x^{2}$ में से $- 3 x$ का गुणनखंड करें.

$- 3 x \cdot x + 12 x = 0$

चरण 3.2.2

$12 x$ में से $- 3 x$ का गुणनखंड करें.

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 4 = 0$

चरण 3.2.3

$- 3 x (x) - 3 x (- 4)$ में से $- 3 x$ का गुणनखंड करें.

$- 3 x (x - 4) = 0$

चरण 3.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x - 4 = 0$

चरण 3.4

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 3.5

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$x - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 4 = 0$

चरण 3.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x = 4$

चरण 3.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- 3 x (x - 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 4$

चरण 4

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $0, 4$ हैं.

$0, 4$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f' (- 1) = - 3 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = - 3 \cdot 1 + 12 (- 1)$

चरण 6.2.1.2

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = - 3 + 12 (- 1)$

चरण 6.2.1.3

$12$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = - 3 - 12$

चरण 6.2.2

$- 3$ में से $12$ घटाएं.

$f' (- 1) = - 15$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 15$ है.

$- 15$

चरण 6.3

$x = - 1$ पर व्युत्पन्न $- 15$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, 0)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, 0)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, 4)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = - 3 {(2)}^{2} + 12 (2)$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2) = - 3 \cdot 4 + 12 (2)$

चरण 7.2.1.2

$- 3$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (2) = - 12 + 12 (2)$

चरण 7.2.1.3

$12$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (2) = - 12 + 24$

चरण 7.2.2

$- 12$ और $24$ जोड़ें.

$f' (2) = 12$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $12$ है.

$12$

चरण 7.3

$x = 2$ पर व्युत्पन्न $12$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(0, 4)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(0, 4)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(4, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $5$ से बदलें.

$f' (5) = - 3 {(5)}^{2} + 12 (5)$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (5) = - 3 \cdot 25 + 12 (5)$

चरण 8.2.1.2

$- 3$ को $25$ से गुणा करें.

$f' (5) = - 75 + 12 (5)$

चरण 8.2.1.3

$12$ को $5$ से गुणा करें.

$f' (5) = - 75 + 60$

चरण 8.2.2

$- 75$ और $60$ जोड़ें.

$f' (5) = - 15$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $- 15$ है.

$- 15$

चरण 8.3

$x = 5$ पर व्युत्पन्न $- 15$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(4, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(4, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 9

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(0, 4)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, 0), (4, \infty)$

चरण 10