कैलकुलस उदाहरण

$g (x) = {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{5}$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = {(3 x - 1)}^{7}$ और $g (x) = {(2 x + 1)}^{5}$ है.

${(3 x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{5}] + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{5}$ और $g (x) = 2 x + 1$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x + 1$ के रूप में सेट करें.

${(3 x - 1)}^{7} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

${(3 x - 1)}^{7} (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x + 1$ से बदलें.

${(3 x - 1)}^{7} (5 {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

$5$ को ${(3 x - 1)}^{7}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$5 \cdot {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

चरण 3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

चरण 3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

चरण 3.6

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} (2 + 0) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

चरण 3.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.7.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} \cdot 2 + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

चरण 3.7.2

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{7}$ और $g (x) = 3 x - 1$ है.

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चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $3 x - 1$ के रूप में सेट करें.

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + {(2 x + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

चरण 4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 7$ है.

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + {(2 x + 1)}^{5} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $3 x - 1$ से बदलें.

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + {(2 x + 1)}^{5} (7 {(3 x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

चरण 5

अवकलन करें.

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चरण 5.1

$7$ को ${(2 x + 1)}^{5}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 \cdot {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

चरण 5.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 5.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 5.4

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 5.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 5.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} (3 + 0)$

चरण 5.7

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

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चरण 5.7.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} \cdot 3$

चरण 5.7.2

$3$ को $7$ से गुणा करें.

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 21 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6}$

चरण 5.7.3

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 21 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6}$ में से ${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.3.1

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4}$ में से ${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4}$ का गुणनखंड करें.

${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (10 (3 x - 1)) + 21 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6}$

चरण 5.7.3.2

$21 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6}$ में से ${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4}$ का गुणनखंड करें.

${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (10 (3 x - 1)) + {(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (21 (2 x + 1))$

चरण 5.7.3.3

${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (10 (3 x - 1)) + {(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (21 (2 x + 1))$ में से ${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4}$ का गुणनखंड करें.

${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (10 (3 x - 1) + 21 (2 x + 1))$