कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

चरण 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.1.1.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

$x^{2}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.1.1.3.2

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.1.1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.1.1.3.2.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.1.1.3.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.1.1.3.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.1.1.3.2.2.5

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

चरण 1.1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

चरण 1.1.1.3.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

चरण 1.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x \ln (x) + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x \ln (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ है.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.2.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.2.2.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.2.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.2.2.5

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.2.2.6

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.2.2.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.2.2.7

$\ln (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.2.3

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

चरण 1.1.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

चरण 1.1.2.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.2.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

चरण 1.1.2.4.2.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

चरण 1.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $2 \ln (x) + 3$ है.

$2 \ln (x) + 3$

चरण 1.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $2 \ln (x) + 3 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 \ln (x) + 3 = 0$

चरण 1.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$2 \ln (x) = - 3$

चरण 1.2.3

$2 \ln (x) = - 3$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$2 \ln (x) = - 3$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

चरण 1.2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

चरण 1.2.3.2.1.2

$\ln (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (x) = \frac{- 3}{2}$

चरण 1.2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\ln (x) = - \frac{3}{2}$

चरण 1.2.4

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{3}{2}}$

चरण 1.2.5

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (x) = - \frac{3}{2}$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- \frac{3}{2}} = x$

चरण 1.2.6

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

समीकरण को $x = e^{- \frac{3}{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = e^{- \frac{3}{2}}$

चरण 1.2.6.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2

$f (x) = x^{2} \ln (x)$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ परिभाषित है, तर्क को $\ln (x)$ से बड़ा $0$ में सेट करें.

$x > 0$

चरण 2.2

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x > 0}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x > 0}$

चरण 3

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

चरण 4

अंतराल $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.11$ से बदलें.

$f'' (0.11) = 2 \ln (0.11) + 3$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (0.11)$ को सरल करें.

$f'' (0.11) = \ln ({0.11}^{2}) + 3$

चरण 4.2.1.2

$0.11$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0.11) = \ln (0.0121) + 3$

चरण 4.2.2

अंतिम उत्तर $\ln (0.0121) + 3$ है.

$\ln (0.0121) + 3$

चरण 4.3

अंतराल $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (0.11)$ ऋणात्मक है.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 5

अंतराल $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f'' (3) = 2 \ln (3) + 3$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (3)$ को सरल करें.

$f'' (3) = \ln (3^{2}) + 3$

चरण 5.2.1.2

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (3) = \ln (9) + 3$

चरण 5.2.2

अंतिम उत्तर $\ln (9) + 3$ है.

$\ln (9) + 3$

चरण 5.3

अंतराल $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (3)$ धनात्मक है.

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 6

जब दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है तो ग्राफ अवतल नीचे होता है और दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक होने पर अवतल ऊपर होता है.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 7