कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$

चरण 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} - 8 x + 41$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

चरण 1.1.1.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

चरण 1.1.1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 8 x + 41$ से बदलें.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

चरण 1.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 8 x + 41$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ है.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

चरण 1.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

चरण 1.1.1.2.3

चूंकि $- 8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8 x$ का व्युत्पन्न $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))$

चरण 1.1.1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))$

चरण 1.1.1.2.5

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))$

चरण 1.1.1.2.6

चूंकि $x$ के संबंध में $41$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $41$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + 0)$

चरण 1.1.1.2.7

$2 x - 8$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8)$

चरण 1.1.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

$\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} (2 x - 8)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$f' (x) = (2 x - 8) (\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41})$

चरण 1.1.1.3.2

$2 x - 8$ को $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41}$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2 x - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

चरण 1.1.1.3.3

$2 x - 8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.3.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{2 (x) - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

चरण 1.1.1.3.3.2

$- 8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{2 x + 2 \cdot - 4}{x^{2} - 8 x + 41}$

चरण 1.1.1.3.3.3

$2 x + 2 \cdot - 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$

चरण 1.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41}]$ है.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41})$

चरण 1.1.2.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x - 4$ और $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ है.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

चरण 1.1.2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

चरण 1.1.2.3.2

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

चरण 1.1.2.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

चरण 1.1.2.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

चरण 1.1.2.3.4.2

$x^{2} - 8 x + 41$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

चरण 1.1.2.3.5

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

चरण 1.1.2.3.6

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

चरण 1.1.2.3.7

चूंकि $- 8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 8 x$ का व्युत्पन्न $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

चरण 1.1.2.3.8

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

चरण 1.1.2.3.9

$- 8$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

चरण 1.1.2.3.10

चूंकि $x$ के संबंध में $41$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $41$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + 0)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

चरण 1.1.2.3.11

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.11.1

$2 x - 8$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

चरण 1.1.2.3.11.2

$2$ और $\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 + (- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.3.1.1

$- 8$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.3.1.2

$2$ को $41$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.3.1.3

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.3.1.4

FOIL विधि का उपयोग करके $(- x + 4) (2 x - 8)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.3.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x - 8) + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.3.1.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.3.1.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.3.1.5

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.3.1.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.3.1.5.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x \cdot x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.3.1.5.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.3.1.5.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.3.1.5.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x^{2}) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.3.1.5.1.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.3.1.5.1.4

$- 8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.3.1.5.1.5

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.3.1.5.1.6

$4$ को $- 8$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.3.1.5.2

$8 x$ और $8 x$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 16 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.3.1.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.3.1.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.3.1.7.1

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.3.1.7.2

$16$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.3.1.7.3

$2$ को $- 32$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.3.2

$2 x^{2}$ में से $4 x^{2}$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 16 x + 82 + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.3.3

$- 16 x$ और $32 x$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 82 - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.3.4

$82$ में से $64$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.4.1

$- 2 x^{2} + 16 x + 18$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.4.1.1

$- 2 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.4.1.2

$16 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.4.1.3

$18$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.4.1.4

$2 (- x^{2}) + 2 (8 x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.4.1.5

$2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.4.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.4.2.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 1 \cdot 9 = - 9$ है और जिसका योग $b = 8$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.4.2.1.1

$8 x$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 (x) + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.4.2.1.2

$8$ को $- 1$ जोड़ $9$ के रूप में फिर से लिखें

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + (- 1 + 9) x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.4.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 1 x + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.4.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.4.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$f'' (x) = \frac{2 ((- x^{2} - 1 x) + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.4.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 (x (- x - 1) - 9 (- x - 1))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.4.2.3

महत्तम समापवर्तक, $- x - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 ((- x - 1) (x - 9))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

$f'' (x) = \frac{2 (- x - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.5

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.6

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1 \cdot 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.7

$- (x) - 1 (1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 (- (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.8

$- (x + 1)$ को $- 1 (x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4.10

गुणनखंडों को $- \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ में पुन: क्रमित करें.

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ है.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

चरण 1.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$

चरण 1.2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 (x + 1) (x - 9) = 0$

चरण 1.2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 1 = 0$

$x - 9 = 0$

चरण 1.2.3.2

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 1.2.3.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 1.2.3.3

$x - 9$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1

$x - 9$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 9 = 0$

चरण 1.2.3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $9$ जोड़ें.

$x = 9$

चरण 1.2.3.4

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 (x + 1) (x - 9) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 1, 9$

चरण 2

$f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ परिभाषित है, तर्क को $\ln (x^{2} - 8 x + 41)$ से बड़ा $0$ में सेट करें.

$x^{2} - 8 x + 41 > 0$

चरण 2.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

असमानता को समीकरण में बदलें.

$x^{2} - 8 x + 41 = 0$

चरण 2.2.2

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 2.2.3

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 8$ और $c = 41$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 41)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1.1

$- 8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 41$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.4.1.2.2

$- 4$ को $41$ से गुणा करें.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.4.1.3

$64$ में से $164$ घटाएं.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.4.1.4

$- 100$ को $- 1 (100)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (100)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.4.1.7

$100$ को $10^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.4.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.4.1.9

$10$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

चरण 2.2.4.3

$\frac{8 \pm 10 i}{2}$ को सरल करें.

$x = 4 \pm 5 i$

चरण 2.2.5

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1.1

$- 8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 41$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.5.1.2.2

$- 4$ को $41$ से गुणा करें.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.5.1.3

$64$ में से $164$ घटाएं.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.5.1.4

$- 100$ को $- 1 (100)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (100)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.5.1.7

$100$ को $10^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.5.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.5.1.9

$10$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

चरण 2.2.5.3

$\frac{8 \pm 10 i}{2}$ को सरल करें.

$x = 4 \pm 5 i$

चरण 2.2.5.4

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = 4 + 5 i$

चरण 2.2.6

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1.1

$- 8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 41$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.6.1.2.2

$- 4$ को $41$ से गुणा करें.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.6.1.3

$64$ में से $164$ घटाएं.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.6.1.4

$- 100$ को $- 1 (100)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.6.1.5

$\sqrt{- 1 (100)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.6.1.7

$100$ को $10^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.6.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.6.1.9

$10$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

चरण 2.2.6.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

चरण 2.2.6.3

$\frac{8 \pm 10 i}{2}$ को सरल करें.

$x = 4 \pm 5 i$

चरण 2.2.6.4

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = 4 - 5 i$

चरण 2.2.7

प्रमुख गुणांक की पहचान करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.7.1

एक बहुपद में प्रमुख पद उच्चतम घात वाला पद है.

$x^{2}$

चरण 2.2.7.2

एक बहुपद में प्रमुख गुणांक प्रमुख पद का गुणांक होता है.

$1$

चरण 2.2.8

चूंकि कोई वास्तविक x- अंत:खंड नहीं है और प्रमुख गुणांक धनात्मक है, परवलय खुलता है और $x^{2} - 8 x + 41$ हमेशा $0$ से बड़ा होता है.

सभी वास्तविक संख्या

चरण 2.3

डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 3

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 9) \cup (9, \infty)$

चरण 4

अंतराल $(- \infty, - 1)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 4$ से बदलें.

$f'' (- 4) = - \frac{2 ((- 4) + 1) ((- 4) - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$- 4$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (- 4) = - \frac{2 \cdot (- 3 (- 4 - 9))}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

चरण 4.2.1.2

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 (- 4 - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

चरण 4.2.1.3

$- 4$ में से $9$ घटाएं.

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

चरण 4.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

चरण 4.2.2.2

$- 8$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 + 32 + 41)}^{2}}$

चरण 4.2.2.3

$16$ और $32$ जोड़ें.

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(48 + 41)}^{2}}$

चरण 4.2.2.4

$48$ और $41$ जोड़ें.

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{89^{2}}$

चरण 4.2.2.5

$89$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{7921}$

चरण 4.2.3

$- 6$ को $- 13$ से गुणा करें.

$f'' (- 4) = - \frac{78}{7921}$

चरण 4.2.4

अंतिम उत्तर $- \frac{78}{7921}$ है.

$- \frac{78}{7921}$

चरण 4.3

अंतराल $(- \infty, - 1)$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (- 4)$ ऋणात्मक है.

$(- \infty, - 1)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 5

अंतराल $(- 1, 9)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f'' (0) = - \frac{2 ((0) + 1) ((0) - 9)}{{({(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$0$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot (1 (0 - 9))}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

चरण 5.2.1.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 9)}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

चरण 5.2.1.3

$0$ में से $9$ घटाएं.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

चरण 5.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

चरण 5.2.2.2

$- 8$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 0 + 41)}^{2}}$

चरण 5.2.2.3

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 41)}^{2}}$

चरण 5.2.2.4

$0$ और $41$ जोड़ें.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{41^{2}}$

चरण 5.2.2.5

$41$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{1681}$

चरण 5.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$2$ को $- 9$ से गुणा करें.

$f'' (0) = - \frac{- 18}{1681}$

चरण 5.2.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (0) = \frac{18}{1681}$

चरण 5.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{18}{1681}$ है.

$\frac{18}{1681}$

चरण 5.3

अंतराल $(- 1, 9)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (0)$ धनात्मक है.

$(- 1, 9)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 6

अंतराल $(9, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $12$ से बदलें.

$f'' (12) = - \frac{2 ((12) + 1) ((12) - 9)}{{({(12)}^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$12$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (12) = - \frac{2 \cdot (13 (12 - 9))}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

चरण 6.2.1.2

$2$ को $13$ से गुणा करें.

$f'' (12) = - \frac{26 (12 - 9)}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

चरण 6.2.1.3

$12$ में से $9$ घटाएं.

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

चरण 6.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$12$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

चरण 6.2.2.2

$- 8$ को $12$ से गुणा करें.

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 96 + 41)}^{2}}$

चरण 6.2.2.3

$144$ में से $96$ घटाएं.

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(48 + 41)}^{2}}$

चरण 6.2.2.4

$48$ और $41$ जोड़ें.

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{89^{2}}$

चरण 6.2.2.5

$89$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{7921}$

चरण 6.2.3

$26$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (12) = - \frac{78}{7921}$

चरण 6.2.4

अंतिम उत्तर $- \frac{78}{7921}$ है.

$- \frac{78}{7921}$

चरण 6.3

अंतराल $(9, \infty)$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (12)$ ऋणात्मक है.

$(9, \infty)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 7

जब दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है तो ग्राफ अवतल नीचे होता है और दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक होने पर अवतल ऊपर होता है.

$(- \infty, - 1)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

$(- 1, 9)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

$(9, \infty)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 8