कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to 0} x^{3} \ln (x)$

चरण 1

दो ओर की सीमा को दाईं ओर की सीमा में प्रतिस्थापित करें.

$lim_{x \to 0^{+}} x^{3} \ln (x)$

चरण 2

$x^{3} \ln (x)$ को $\frac{\ln (x)}{x^{- 3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 3}}$

चरण 3

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 3}}$

चरण 3.1.2

जैसे-जैसे $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर एप्रोच करता है, $\ln (x)$ बिना किसी सीमा के कम हो जाता है.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 3}}$

चरण 3.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{3}}}$

चरण 3.1.3.2

चूँकि न्यूमेरेटर एक स्थिरांक है और भाजक $0$ की ओर एप्रोच करता है, जब $x$ दाईं ओर से $0$ की ओर एप्रोच करता है, तो भिन्न $\frac{1}{x^{3}}$ अनंत की ओर एप्रोच करता है.

$\frac{- \infty}{\infty}$

चरण 3.1.3.3

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{- \infty}{\infty}$

चरण 3.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{- \infty}{\infty}$

चरण 3.2

चूंकि $\frac{- \infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 3}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

चरण 3.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

चरण 3.3.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

चरण 3.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 3$ है.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 x^{- 4}}$

चरण 3.3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 \frac{1}{x^{4}}}$

चरण 3.3.4.2

$- 3$ और $\frac{1}{x^{4}}$ को मिलाएं.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3}{x^{4}}}$

चरण 3.3.4.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{3}{x^{4}}}$

चरण 3.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \frac{x^{4}}{3})$

चरण 3.5

$\frac{1}{x}$ को $\frac{x^{4}}{3}$ से गुणा करें.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{4}}{x \cdot 3}$

चरण 3.6

$x^{4}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$x^{4}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 3}$

चरण 3.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1

$x \cdot 3$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x (3)}$

चरण 3.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 3}$

चरण 3.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{3}}{3}$

चरण 4

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{3}}{3}$

चरण 4.2

$\frac{1}{3}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$- \frac{1}{3} lim_{x \to 0^{+}} x^{3}$

चरण 4.3

सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक $3$ को $x^{3}$ से सीमा से बाभाजक ले जाएं.

$- \frac{1}{3} {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{3}$

चरण 5

$x$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

चरण 6

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- \frac{1}{3} \cdot 0$

चरण 6.2

$- \frac{1}{3} \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 (\frac{1}{3})$

चरण 6.2.2

$0$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$0$