कैलकुलस उदाहरण

${(x^{2} + 1)}^{8}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{8}$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 8$ है.

$8 u^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$8 {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$8 {(x^{2} + 1)}^{7} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$8 {(x^{2} + 1)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$8 {(x^{2} + 1)}^{7} (2 x + 0)$

चरण 1.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$8 {(x^{2} + 1)}^{7} (2 x)$

चरण 1.2.4.2

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$16 {(x^{2} + 1)}^{7} x$

चरण 1.2.4.3

$16 {(x^{2} + 1)}^{7} x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$f' (x) = 16 x {(x^{2} + 1)}^{7}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $16$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $16 x {(x^{2} + 1)}^{7}$ का व्युत्पन्न $16 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{7}]$ है.

$16 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{7}]$

चरण 2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{7}$ है.

$16 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{7}] + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{7}$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + 1$ के रूप में सेट करें.

$16 (x (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 7$ है.

$16 (x (7 u^{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$16 (x (7 {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$16 (x (7 {(x^{2} + 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.4.2

$16 (x (7 {(x^{2} + 1)}^{6} (2 x + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.4.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$16 (x (7 {(x^{2} + 1)}^{6} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.4.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.4.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$16 (x (7 {(x^{2} + 1)}^{6} (2 x)) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.4.4.2

$2$ को $7$ से गुणा करें.

$16 (x (14 {(x^{2} + 1)}^{6} x) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$16 (x^{1} x (14 {(x^{2} + 1)}^{6}) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$16 (x^{1} x^{1} (14 {(x^{2} + 1)}^{6}) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$16 (x^{1 + 1} (14 {(x^{2} + 1)}^{6}) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$16 (x^{2} (14 {(x^{2} + 1)}^{6}) + {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$16 (x^{2} (14 {(x^{2} + 1)}^{6}) + {(x^{2} + 1)}^{7} \cdot 1)$

चरण 2.10

${(x^{2} + 1)}^{7}$ को $1$ से गुणा करें.

$16 (x^{2} (14 {(x^{2} + 1)}^{6}) + {(x^{2} + 1)}^{7})$

चरण 2.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$16 (x^{2} (14 {(x^{2} + 1)}^{6})) + 16 {(x^{2} + 1)}^{7}$

चरण 2.11.2

$14$ को $16$ से गुणा करें.

$224 (x^{2} ({(x^{2} + 1)}^{6})) + 16 {(x^{2} + 1)}^{7}$

चरण 2.11.3

$224 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + 16 {(x^{2} + 1)}^{7}$ में से $16 {(x^{2} + 1)}^{6}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.11.3.1

$224 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6}$ में से $16 {(x^{2} + 1)}^{6}$ का गुणनखंड करें.

$16 {(x^{2} + 1)}^{6} (14 x^{2}) + 16 {(x^{2} + 1)}^{7}$

चरण 2.11.3.2

$16 {(x^{2} + 1)}^{7}$ में से $16 {(x^{2} + 1)}^{6}$ का गुणनखंड करें.

$16 {(x^{2} + 1)}^{6} (14 x^{2}) + 16 {(x^{2} + 1)}^{6} (x^{2} + 1)$

चरण 2.11.3.3

$16 {(x^{2} + 1)}^{6} (14 x^{2}) + 16 {(x^{2} + 1)}^{6} (x^{2} + 1)$ में से $16 {(x^{2} + 1)}^{6}$ का गुणनखंड करें.

$16 {(x^{2} + 1)}^{6} (14 x^{2} + x^{2} + 1)$

चरण 2.11.4

$14 x^{2}$ और $x^{2}$ जोड़ें.

$f'' (x) = 16 {(x^{2} + 1)}^{6} (15 x^{2} + 1)$