कैलकुलस उदाहरण

$\frac{1}{1 - x^{2}}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\frac{1}{1 - x^{2}}$ को ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- 1}]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = 1 - x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 - x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 - x^{2}$ से बदलें.

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 1.3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 1.3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ जोड़ें.

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.3.4

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.3.5

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3.5.2

${(1 - x^{2})}^{- 2}$ को $1$ से गुणा करें.

${(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

${(1 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

चरण 1.3.7

$2$ को ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \cdot {(1 - x^{2})}^{- 2} x$

चरण 1.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$2$ और $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

चरण 1.5.1.2

$\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 1.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}]$

चरण 2.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(- x^{2} + 1)}^{2}$ है.

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

घातांक को ${({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

चरण 2.3.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 2.3.3

${(- x^{2} + 1)}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 2.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = - x^{2} + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x^{2} + 1$ के रूप में सेट करें.

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 2.4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x^{2} + 1$ से बदलें.

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 2.5

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 \frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 2.5.2

${(- x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])$ में से $- x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

${(- x^{2} + 1)}^{2}$ में से $- x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1) - 2 x ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 2.5.2.2

$- 2 x ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])$ में से $- x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1) + (- x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 2.5.2.3

$(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1) + (- x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))$ में से $- x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 2.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

${(- x^{2} + 1)}^{4}$ में से $- x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))}{(- x^{2} + 1) {(- x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]))}{(- x^{2} + 1) {(- x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.8

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.9

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.10

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- 2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.11

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- 2 x + 0)}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.12

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.12.1

$- 2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 \frac{- x^{2} + 1 - 2 x (- 2 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.12.2

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 x \cdot x}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.13

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 (x^{1} x)}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.14

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 (x^{1} x^{1})}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.15

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 x^{1 + 1}}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.16

$1$ और $1$ जोड़ें.

$2 \frac{- x^{2} + 1 + 4 x^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.17

$- x^{2}$ और $4 x^{2}$ जोड़ें.

$2 \frac{3 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.18

$2$ और $\frac{3 x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.19

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.19.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.19.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.19.2.1

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 2.19.2.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{6 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$