कैलकुलस उदाहरण

$x e^{- x}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{- x}$ है.

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3.2

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.3.3

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.4

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

चरण 1.3.5

$e^{- x}$ को $1$ से गुणा करें.

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- e^{- x} x + e^{- x}$

चरण 1.4.2

गुणनखंडों को $- e^{- x} x + e^{- x}$ में पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- x e^{- x} + e^{- x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x e^{- x}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ है.

$- \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2.2

$- (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$- (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$- (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$- (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2.4

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2.5

$- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2.6

$- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2.8

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2.9

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.2.10

$e^{- x}$ को $1$ से गुणा करें.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 2.3.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 2.3.1.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 2.3.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.3.3

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

चरण 2.3.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \cdot - 1$

चरण 2.3.5

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 1 \cdot e^{- x}$

चरण 2.3.6

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- (x (- e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

चरण 2.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (x (e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

चरण 2.4.2.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}$

चरण 2.4.2.3

$- e^{- x}$ में से $e^{- x}$ घटाएं.

$x e^{- x} - 2 e^{- x}$

चरण 2.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{- x} x - 2 e^{- x}$

चरण 2.4.4

गुणनखंडों को $e^{- x} x - 2 e^{- x}$ में पुन: क्रमित करें.

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x e^{- x} - 2 e^{- x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

चरण 3.2.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

चरण 3.2.2.2

$x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

चरण 3.2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

चरण 3.2.3

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

चरण 3.2.4

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

चरण 3.2.5

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

चरण 3.2.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

चरण 3.2.7

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

चरण 3.2.8

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

चरण 3.2.9

$e^{- x}$ को $1$ से गुणा करें.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 e^{- x}$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ है.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 3.3.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 3.3.2.2

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 3.3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 3.3.3

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 3.3.4

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

चरण 3.3.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

चरण 3.3.6

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

चरण 3.3.7

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} - 2 (- e^{- x})$

चरण 3.3.8

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} + 2 e^{- x}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$e^{- x}$ और $2 e^{- x}$ जोड़ें.

$x (- e^{- x}) + 3 e^{- x}$

चरण 3.4.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- e^{- x} x + 3 e^{- x}$

चरण 3.4.3

गुणनखंडों को $- e^{- x} x + 3 e^{- x}$ में पुन: क्रमित करें.

$f''' (x) = - x e^{- x} + 3 e^{- x}$