कैलकुलस उदाहरण

$x^{2} \ln (3 x)$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \ln (3 x)$ है.

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 3 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\frac{1}{3 x}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2}}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3.2

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.2.1

$3 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x}{3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{x}{3} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.1

$3$ और $\frac{x}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3.4.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3.4.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x \frac{d}{d x} [x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x \cdot 1 + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3.6

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x + \ln (3 x) (2 x)$

चरण 1.3.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = 2 x \ln (3 x) + x$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x \ln (3 x) + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (3 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x \ln (3 x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x \ln (3 x)]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (3 x)$ है.

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.3.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$2 (x (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.4

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 (x (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.5

$2 (x (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.6

$2 (x (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.7

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (x (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.8

$\frac{1}{3 x}$ और $3$ को मिलाएं.

$2 (x \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.9

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.9.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (x \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.9.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.10

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{x}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.11

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.11.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (\frac{x}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.11.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (1 + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.12

$\ln (3 x)$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (1 + \ln (3 x)) + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3

$2 (1 + \ln (3 x)) + 1$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \cdot 1 + 2 \ln (3 x) + 1$

चरण 2.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + 2 \ln (3 x) + 1$

चरण 2.4.2.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = 2 \ln (3 x) + 3$