कैलकुलस उदाहरण

$y = \arctan (\sqrt{7 x^{2} - 1})$

चरण 1

$\sqrt{7 x^{2} - 1}$ को ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = \arctan ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}))$

चरण 3

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \arctan (x)$ और $g (x) = {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\arctan (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ है.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$\frac{1}{1 + {({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.2

घातांक को ${({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{1 + {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{1 + {(7 x^{2} - 1)}^{1}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.3

सरल करें.

$\frac{1}{1 + 7 x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.4

संख्याओं को घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{7 x^{2} + 0} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.4.2

$7 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{7 x^{2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 7 x^{2} - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $7 x^{2} - 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

चरण 4.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

चरण 4.5.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $7 x^{2} - 1$ से बदलें.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

चरण 4.6

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

चरण 4.7

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

चरण 4.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

चरण 4.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

चरण 4.9.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

चरण 4.10

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.10.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

चरण 4.10.2

$\frac{1}{2}$ और ${(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{{(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

चरण 4.10.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

चरण 4.10.4

$\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{7 x^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (7 x^{2})} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1]$

चरण 4.10.5

$7$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1]$

चरण 4.11

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $7 x^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 4.12

चूंकि $7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $7 x^{2}$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 4.13

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 4.14

$2$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (14 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 4.15

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (14 x + 0)$

चरण 4.16

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.16.1

$14 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (14 x)$

चरण 4.16.2

$14$ और $\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{14}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} x$

चरण 4.16.3

$\frac{14}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{14 x}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

चरण 4.16.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{14 x}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

चरण 4.16.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

चरण 4.17

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{1}}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

चरण 4.18

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot 1}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

चरण 4.19

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.19.1

${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot 1}{x ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x)}$

चरण 4.19.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \cdot 1}{x ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x)}$

चरण 4.19.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x}$

चरण 4.20

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{x {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{1}{x {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$