कैलकुलस उदाहरण

$y = \ln (| 3 x^{2} - 7 x |)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| 3 x^{2} - 7 x |))$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = | 3 x^{2} - 7 x |$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $| 3 x^{2} - 7 x |$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 7 x |]$

चरण 3.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 7 x |]$

चरण 3.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $| 3 x^{2} - 7 x |$ से बदलें.

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 7 x |]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = | x |$ और $g (x) = 3 x^{2} - 7 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $3 x^{2} - 7 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x])$

चरण 3.2.2

$u_{2}$ के संबंध में $| u_{2} |$ का व्युत्पन्न $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ है.

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x])$

चरण 3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $3 x^{2} - 7 x$ से बदलें.

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} (\frac{3 x^{2} - 7 x}{| 3 x^{2} - 7 x |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x])$

चरण 3.3

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| 3 x^{2} - 7 x |}$ को $\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |}$ से गुणा करें.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| 3 x^{2} - 7 x | | 3 x^{2} - 7 x |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

चरण 3.4

निरपेक्ष मानों को गुणा करने के लिए, प्रत्येक निरपेक्ष मान के अंदर के पदों को गुणा करें.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| (3 x^{2} - 7 x) (3 x^{2} - 7 x) |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

चरण 3.5

$3 x^{2} - 7 x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{1} (3 x^{2} - 7 x) |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

चरण 3.6

$3 x^{2} - 7 x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{1} {(3 x^{2} - 7 x)}^{1} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

चरण 3.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

चरण 3.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

चरण 3.9

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{2} - 7 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ है.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

चरण 3.10

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

चरण 3.11

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

चरण 3.12

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

चरण 3.13

चूंकि $- 7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 7 x$ का व्युत्पन्न $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.14

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7 \cdot 1)$

चरण 3.15

$- 7$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7)$

चरण 3.16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.16.1

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(6 x - 7) \frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

चरण 3.16.2

$3 x^{2} - 7 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.16.2.1

$3 x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x) - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

चरण 3.16.2.2

$- 7 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x) + x \cdot - 7}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

चरण 3.16.2.3

$x (3 x) + x \cdot - 7$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

चरण 3.16.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.16.3.1

$3 x^{2} - 7 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.16.3.1.1

$3 x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(x (3 x) - 7 x)}^{2} |}$

चरण 3.16.3.1.2

$- 7 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(x (3 x) + x \cdot - 7)}^{2} |}$

चरण 3.16.3.1.3

$x (3 x) + x \cdot - 7$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(x (3 x - 7))}^{2} |}$

चरण 3.16.3.2

उत्पाद नियम को $x (3 x - 7)$ पर लागू करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} {(3 x - 7)}^{2} |}$

चरण 3.16.3.3

${(3 x - 7)}^{2}$ को $(3 x - 7) (3 x - 7)$ के रूप में फिर से लिखें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ((3 x - 7) (3 x - 7)) |}$

चरण 3.16.3.4

FOIL विधि का उपयोग करके $(3 x - 7) (3 x - 7)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.16.3.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7)) |}$

चरण 3.16.3.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x - 7)) |}$

चरण 3.16.3.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

चरण 3.16.3.5

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.16.3.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.16.3.5.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

चरण 3.16.3.5.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.16.3.5.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

चरण 3.16.3.5.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

चरण 3.16.3.5.1.3

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

चरण 3.16.3.5.1.4

$- 7$ को $3$ से गुणा करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 21 x - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

चरण 3.16.3.5.1.5

$3$ को $- 7$ से गुणा करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7) |}$

चरण 3.16.3.5.1.6

$- 7$ को $- 7$ से गुणा करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49) |}$

चरण 3.16.3.5.2

$- 21 x$ में से $21 x$ घटाएं.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 42 x + 49) |}$

चरण 3.16.3.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

चरण 3.16.3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.16.3.7.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

चरण 3.16.3.7.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2} x^{2} - 42 x^{2} x + x^{2} \cdot 49 |}$

चरण 3.16.3.7.3

$49$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2} x^{2} - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

चरण 3.16.3.8

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.16.3.8.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.16.3.8.1.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 (x^{2} x^{2}) - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

चरण 3.16.3.8.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2 + 2} - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

चरण 3.16.3.8.1.3

$2$ और $2$ जोड़ें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

चरण 3.16.3.8.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.16.3.8.2.1

$x$ ले जाएं.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 (x \cdot x^{2}) + 49 \cdot x^{2} |}$

चरण 3.16.3.8.2.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.16.3.8.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 (x^{1} x^{2}) + 49 \cdot x^{2} |}$

चरण 3.16.3.8.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{1 + 2} + 49 \cdot x^{2} |}$

चरण 3.16.3.8.2.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{3} + 49 \cdot x^{2} |}$

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{3} + 49 x^{2} |}$

चरण 3.16.3.9

$9 x^{4} - 42 x^{3} + 49 x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.16.3.9.1

$9 x^{4}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) - 42 x^{3} + 49 x^{2} |}$

चरण 3.16.3.9.2

$- 42 x^{3}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x) + 49 x^{2} |}$

चरण 3.16.3.9.3

$49 x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

चरण 3.16.3.9.4

$x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x)$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

चरण 3.16.3.9.5

$x^{2} (9 x^{2} - 42 x) + x^{2} \cdot 49$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 42 x + 49) |}$

चरण 3.16.3.10

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.16.3.10.1

$9 x^{2}$ को ${(3 x)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 42 x + 49) |}$

चरण 3.16.3.10.2

$49$ को $7^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 42 x + 7^{2}) |}$

चरण 3.16.3.10.3

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$42 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 7$

चरण 3.16.3.10.4

बहुपद को फिर से लिखें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot 7 + 7^{2}) |}$

चरण 3.16.3.10.5

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = 3 x$ और $b = 7$ है.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} {(3 x - 7)}^{2} |}$

चरण 3.16.4

निरपेक्ष मान से गैर-ऋणात्मक शब्द हटा दें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{x^{2} {(3 x - 7)}^{2}}$

चरण 3.16.5

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.16.5.1

$x^{2} {(3 x - 7)}^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{x (x {(3 x - 7)}^{2})}$

चरण 3.16.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{x (x {(3 x - 7)}^{2})}$

चरण 3.16.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$(6 x - 7) \frac{3 x - 7}{x {(3 x - 7)}^{2}}$

चरण 3.16.6

$3 x - 7$ और ${(3 x - 7)}^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.16.6.1

$1$ से गुणा करें.

$(6 x - 7) \frac{(3 x - 7) \cdot 1}{x {(3 x - 7)}^{2}}$

चरण 3.16.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.16.6.2.1

$x {(3 x - 7)}^{2}$ में से $3 x - 7$ का गुणनखंड करें.

$(6 x - 7) \frac{(3 x - 7) \cdot 1}{(3 x - 7) (x (3 x - 7))}$

चरण 3.16.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$(6 x - 7) \frac{(3 x - 7) \cdot 1}{(3 x - 7) (x (3 x - 7))}$

चरण 3.16.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$(6 x - 7) \frac{1}{x (3 x - 7)}$

चरण 3.16.7

$6 x - 7$ को $\frac{1}{x (3 x - 7)}$ से गुणा करें.

$\frac{6 x - 7}{x (3 x - 7)}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{6 x - 7}{x (3 x - 7)}$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - 7}{x (3 x - 7)}$