कैलकुलस उदाहरण

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{2}{3^{i}}$

चरण 1

एक अनंत ज्यामितीय शृंखला का योग सूत्र $\frac{a}{1 - r}$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है जहां $a$ पहला पद है और $r$ क्रमिक पदों के बीच का अनुपात है.

चरण 2

सूत्र $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ में प्लग इन करके और सरलीकरण करके क्रमागत पदों का अनुपात ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$a_{i}$ और $a_{i + 1}$ को $r$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$r = \frac{\frac{2}{3^{i + 1}}}{\frac{2}{3^{i}}}$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$r = \frac{2}{3^{i + 1}} \cdot \frac{3^{i}}{2}$

चरण 2.2.2

जोड़ना.

$r = \frac{2 \cdot 3^{i}}{3^{i + 1} \cdot 2}$

चरण 2.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \frac{2 \cdot 3^{i}}{3^{i + 1} \cdot 2}$

चरण 2.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{3^{i}}{3^{i + 1}}$

चरण 2.2.4

$3^{i}$ और $3^{i + 1}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$3^{i}$ में से $3^{i + 1}$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{3^{i + 1} \cdot 3^{i - (i + 1)}}{3^{i + 1}}$

चरण 2.2.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.2.1

$1$ से गुणा करें.

$r = \frac{3^{i + 1} \cdot 3^{i - (i + 1)}}{3^{i + 1} \cdot 1}$

चरण 2.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \frac{3^{i + 1} \cdot 3^{i - (i + 1)}}{3^{i + 1} \cdot 1}$

चरण 2.2.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{3^{i - (i + 1)}}{1}$

चरण 2.2.4.2.4

$3^{i - (i + 1)}$ को $1$ से विभाजित करें.

$r = 3^{i - (i + 1)}$

चरण 2.2.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$r = 3^{i - i - 1 \cdot 1}$

चरण 2.2.5.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$r = 3^{i - i - 1}$

चरण 2.2.6

$i$ में से $i$ घटाएं.

$r = 3^{0 - 1}$

चरण 2.2.7

$0$ में से $1$ घटाएं.

$r = 3^{- 1}$

चरण 2.2.8

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{1}{3}$

चरण 3

$| r | < 1$ के बाद से, शृंखला मिल जाती है.

चरण 4

निम्न परिबंध में प्रतिस्थापित करके और सरलीकरण करके शृंखला का पहला पद ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$i$ के स्थान पर $\frac{2}{3^{i}}$ में $1$ प्रतिस्थापित करें.

$a = \frac{2}{3^{1}}$

चरण 4.2

घातांक का मान ज्ञात करें.

$a = \frac{2}{3}$

चरण 5

योग सूत्र में अनुपात और प्रथम पद के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{3}}$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

चरण 6.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

चरण 6.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

चरण 6.2.3

$3$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

चरण 6.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{2}{3} (1 (\frac{3}{2}))$

चरण 6.4

$\frac{3}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}$

चरण 6.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}$

चरण 6.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} \cdot 3$

चरण 6.6

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{3} \cdot 3$

चरण 6.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1$