कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{e^{3 x} + e^{- 3 x}}{x}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{3 x} + e^{- 3 x}}{x})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = e^{3 x} + e^{- 3 x}$ और $g (x) = x$ है.

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{3 x} + e^{- 3 x}] - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{3 x} + e^{- 3 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ है.

$\frac{x (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 3 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$\frac{x (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{x (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.4.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.4.3.2

$3$ को $e^{3 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{x (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - 3 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- 3 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{x (3 e^{3 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.5.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{x (3 e^{3 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.5.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- 3 x$ से बदलें.

$\frac{x (3 e^{3 x} + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.6

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{x (3 e^{3 x} + e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.6.2

$\frac{x (3 e^{3 x} + e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.6.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.1

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x (3 e^{3 x} + e^{- 3 x} \cdot - 3) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.6.3.2

$- 3$ को $e^{- 3 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{x (3 e^{3 x} - 3 \cdot e^{- 3 x}) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.6.4

$\frac{x (3 e^{3 x} - 3 e^{- 3 x}) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \cdot 1}{x^{2}}$

चरण 3.6.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x (3 e^{3 x} - 3 e^{- 3 x}) - (e^{3 x} + e^{- 3 x})}{x^{2}}$

चरण 3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (3 e^{3 x}) + x (- 3 e^{- 3 x}) - (e^{3 x} + e^{- 3 x})}{x^{2}}$

चरण 3.7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (3 e^{3 x}) + x (- 3 e^{- 3 x}) - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

चरण 3.7.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{3 x e^{3 x} + x (- 3 e^{- 3 x}) - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

चरण 3.7.3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{3 x e^{3 x} - 3 x e^{- 3 x} - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

चरण 3.7.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{3 e^{3 x} x - 3 e^{- 3 x} x - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

चरण 3.7.5

गुणनखंडों को $\frac{3 e^{3 x} x - 3 e^{- 3 x} x - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{3 x e^{3 x} - 3 x e^{- 3 x} - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{3 x e^{3 x} - 3 x e^{- 3 x} - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x e^{3 x} - 3 x e^{- 3 x} - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$