कैलकुलस उदाहरण

$y = \ln (x^{2} + y^{2})$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2}))$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{2} + y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x^{2} + y^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 3.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 3.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + y^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 3.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ है.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

चरण 3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$

चरण 3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

चरण 3.5.2

$2 x + 2 y y'$ को $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 x + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

चरण 3.5.3

$2 x + 2 y y'$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

चरण 3.5.3.2

$2 y y'$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{x^{2} + y^{2}}$

चरण 3.5.3.3

$2 (x) + 2 (y y')$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

दोनों पक्षों को $x^{2} + y^{2}$ से गुणा करें.

$y' (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y (y'))}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

चरण 5.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1

$x^{2} + y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

चरण 5.2.2.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' x^{2} + y' y^{2} = 2 (x + y y')$

चरण 5.2.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' x^{2} + y' y^{2} = 2 x + 2 (y y')$

चरण 5.2.2.1.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.3.1

$y$ ले जाएं.

$y' x^{2} + y' y^{2} = 2 x + 2 y' y$

चरण 5.2.2.1.3.2

$2 x$ और $2 y' y$ को पुन: क्रमित करें.

$y' x^{2} + y' y^{2} = 2 y' y + 2 x$

चरण 5.3

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y' y$ घटाएं.

$y' x^{2} + y' y^{2} - 2 y' y = 2 x$

चरण 5.3.2

$y' x^{2} + y' y^{2} - 2 y' y$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$y' x^{2}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) - 2 y' y = 2 x$

चरण 5.3.2.2

$y' y^{2}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) - 2 y' y = 2 x$

चरण 5.3.2.3

$- 2 y' y$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x$

चरण 5.3.2.4

$y' (x^{2}) + y' (y^{2})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2} + y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x$

चरण 5.3.2.5

$y' (x^{2} + y^{2}) + y' (- 2 y)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x$

चरण 5.3.3

$y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x$ के प्रत्येक पद को $x^{2} + y^{2} - 2 y$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x$ के प्रत्येक पद को $x^{2} + y^{2} - 2 y$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

चरण 5.3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.2.1

$x^{2} + y^{2} - 2 y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

चरण 5.3.3.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$