कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{2 x + 1}{\sqrt{x}}$

चरण 1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = \frac{2 x + 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x + 1}{x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 3

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 2 x + 1$ और $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 4.2

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 4.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 4.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

चरण 4.3

सरल करें.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

चरण 4.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

चरण 4.5

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

चरण 4.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

चरण 4.7

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

चरण 4.8

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

चरण 4.9

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

चरण 4.9.2

$2$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

चरण 4.10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

चरण 4.11

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

चरण 4.12

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

चरण 4.13

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

चरण 4.14

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.14.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

चरण 4.14.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

चरण 4.15

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

चरण 4.16

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

चरण 4.17

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.18.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + (- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.18.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.18.3.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.18.3.1.1.1

$- (2 x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.3.1.1.2

$2 x^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.3.1.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.3.1.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (x) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.3.1.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.3.1.3

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $x^{\frac{1}{2}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.3.1.4

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.18.3.1.4.1

$x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.18.3.1.4.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.3.1.4.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{1 - \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.3.1.4.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.3.1.4.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.3.1.4.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.3.1.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.3.1.6

$- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ को $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.3.2

$2 x^{\frac{1}{2}}$ में से $x^{\frac{1}{2}}$ घटाएं.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.18.4.1

$x^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.4.2

$x^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.4.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.4.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.18.4.4.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.4.4.2

घातांक जोड़कर $x^{\frac{1}{2}}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.18.4.4.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.4.4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.4.4.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.4.4.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{2}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.4.4.2.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{\frac{2 x^{1} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.4.4.3

$2 x^{1}$ को सरल करें.

$\frac{\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

चरण 4.18.5

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

चरण 4.18.6

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.18.6.1

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

चरण 4.18.6.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 x - 1}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

चरण 4.18.6.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 x - 1}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

चरण 4.18.6.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

चरण 4.18.6.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

चरण 4.18.6.6

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$