कैलकुलस उदाहरण

$x^{2} (x - y) = y^{2} (x + y)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x^{2} (x - y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} (x + y))$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x - y$ है.

$x^{2} \frac{d}{d x} [x - y] + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ है.

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.2.3

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [y]$ है.

$x^{2} (1 - \frac{d}{d x} [y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} (1 - y') + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{2} (1 - y') + (x - y) (2 x)$

चरण 2.5

$2$ को $x - y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{2} (1 - y') + 2 \cdot (x - y) x$

चरण 2.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + 2 (x - y) x$

चरण 2.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + (2 x + 2 (- y)) x$

चरण 2.6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + 2 x \cdot x + 2 (- y) x$

चरण 2.6.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.4.1

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x \cdot x + 2 (- y) x$

चरण 2.6.4.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 (x^{1} x) + 2 (- y) x$

चरण 2.6.4.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 (- y) x$

चरण 2.6.4.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{1 + 1} + 2 (- y) x$

चरण 2.6.4.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{2} + 2 (- y) x$

चरण 2.6.4.6

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{2} - 2 y x$

चरण 2.6.4.7

$x^{2}$ और $2 x^{2}$ जोड़ें.

$3 x^{2} + x^{2} (- y') - 2 y x$

चरण 2.6.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = y^{2}$ और $g (x) = x + y$ है.

$y^{2} \frac{d}{d x} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

चरण 3.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ है.

$y^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

चरण 3.2.2

$y^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$y^{2} (1 + y') + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

चरण 3.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.5

$2$ को $x + y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y^{2} (1 + y') + 2 \cdot (x + y) y \frac{d}{d x} [y]$

चरण 3.6

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$y^{2} (1 + y') + 2 (x + y) y y'$

चरण 3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + 2 (x + y) y y'$

चरण 3.7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + (2 x + 2 y) y y'$

चरण 3.7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + (2 x y + 2 y \cdot y) y'$

चरण 3.7.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y \cdot y y'$

चरण 3.7.5

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.5.1

$y^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y \cdot y y'$

चरण 3.7.5.2

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 (y^{1} y) y'$

चरण 3.7.5.3

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 (y^{1} y^{1}) y'$

चरण 3.7.5.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y^{1 + 1} y'$

चरण 3.7.5.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y^{2} y'$

चरण 3.7.5.6

$y^{2} y'$ और $2 y^{2} y'$ जोड़ें.

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y'$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y = y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y'$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूंकि $y'$ समीकरण के दाएं पक्ष की ओर है, पक्षों को स्विच करें ताकि यह समीकरण के बाएं पक्ष की ओर हो.

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y' = 3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $x^{2} y'$ जोड़ें.

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y$

चरण 5.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $y^{2}$ घटाएं.

$3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

चरण 5.4

$3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$3 y^{2} y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (3 y^{2}) + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

चरण 5.4.2

$2 x y y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (3 y^{2}) + y' (2 x y) + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

चरण 5.4.3

$x^{2} y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (3 y^{2}) + y' (2 x y) + y' (x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

चरण 5.4.4

$y' (3 y^{2}) + y' (2 x y)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (3 y^{2} + 2 x y) + y' (x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

चरण 5.4.5

$y' (3 y^{2} + 2 x y) + y' (x^{2})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

चरण 5.5

$y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$ के प्रत्येक पद को $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$ के प्रत्येक पद को $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2})}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

चरण 5.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1

$3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2})}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

चरण 5.5.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

चरण 5.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{(2) x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

चरण 5.5.3.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

चरण 5.5.3.2

एक भिन्न में जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

चरण 5.5.3.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

चरण 5.5.3.3

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.3.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ है और जिसका योग $b = - 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.3.1.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y' = \frac{3 x^{2} - y^{2} - 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

चरण 5.5.3.3.1.2

$- y^{2}$ और $- 2 x y$ को पुन: क्रमित करें.

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

चरण 5.5.3.3.1.3

$- 2 x y$ में से $- 2$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

चरण 5.5.3.3.1.4

$- 2$ को $1$ जोड़ $- 3$ के रूप में फिर से लिखें

$y' = \frac{3 x^{2} + (1 - 3) (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

चरण 5.5.3.3.1.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' = \frac{3 x^{2} + 1 (x y) - 3 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

चरण 5.5.3.3.1.6

$x y$ को $1$ से गुणा करें.

$y' = \frac{3 x^{2} + x y - 3 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

चरण 5.5.3.3.1.7

कोष्ठक ले जाएँ.

$y' = \frac{3 x^{2} + x y - 3 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

चरण 5.5.3.3.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.3.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$y' = \frac{(3 x^{2} + x y) - 3 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

चरण 5.5.3.3.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{x (3 x + y) - y (3 x + y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

चरण 5.5.3.3.3

महत्तम समापवर्तक, $3 x + y$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{(3 x + y) (x - y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x + y) (x - y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$