कैलकुलस उदाहरण

${\displaystyle \sqrt{x}}$ को ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ का उपयोग करें.

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ है, जहाँ ${\displaystyle n=\frac{1}{2}}$ है.

${\displaystyle -1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, ${\displaystyle \frac{2}{2}}$ से गुणा करें.

${\displaystyle -1}$ और ${\displaystyle \frac{2}{2}}$ को मिलाएं.

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

न्यूमेरेटर को सरल करें.

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

${\displaystyle \sqrt{x^3}}$ को ${\displaystyle x^{\frac{3}{2}}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ का उपयोग करें.

चूंकि ${\displaystyle -1}$, ${\displaystyle x}$ के संबंध में स्थिर है, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle -x^{\frac{3}{2}}}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle -\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{3}{2}}\right]}$ है.

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ है, जहाँ ${\displaystyle n=\frac{3}{2}}$ है.

${\displaystyle -1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, ${\displaystyle \frac{2}{2}}$ से गुणा करें.

${\displaystyle -1}$ और ${\displaystyle \frac{2}{2}}$ को मिलाएं.

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

न्यूमेरेटर को सरल करें.

${\displaystyle \frac{3}{2}}$ और ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

ऋणात्मक घातांक नियम ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

${\displaystyle \frac{1}{2}}$ को ${\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}$ से गुणा करें.

चूंकि ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, ${\displaystyle x}$ के संबंध में स्थिर है, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle \frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle \frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\right]}$ है.

${\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}$ को ${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}}$ के रूप में फिर से लिखें.

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ है, जहाँ ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ और ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$ है.

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ है, जहाँ ${\displaystyle n=\frac{1}{2}}$ है.

घातांक को ${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{-2}}$ में गुणा करें.

${\displaystyle -1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, ${\displaystyle \frac{2}{2}}$ से गुणा करें.

${\displaystyle -1}$ और ${\displaystyle \frac{2}{2}}$ को मिलाएं.

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

न्यूमेरेटर को सरल करें.

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

${\displaystyle \frac{1}{2}}$ और ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

${\displaystyle \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}}$ और ${\displaystyle x^{-1}}$ को मिलाएं.

घातांक जोड़कर ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$ को ${\displaystyle x^{-1}}$ से गुणा करें.

ऋणात्मक घातांक नियम ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$ का उपयोग करके ${\displaystyle x^{-\frac{3}{2}}}$ को भाजक में ले जाएँ.

${\displaystyle \frac{1}{2}}$ को ${\displaystyle \frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}}$ से गुणा करें.

${\displaystyle 2}$ को ${\displaystyle 2}$ से गुणा करें.

चूंकि ${\displaystyle -\frac{3}{2}}$, ${\displaystyle x}$ के संबंध में स्थिर है, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle -\frac{3x^{\frac{1}{2}}}{2}}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle -\frac{3}{2}\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{1}{2}}\right]}$ है.

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ है, जहाँ ${\displaystyle n=\frac{1}{2}}$ है.

${\displaystyle -1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, ${\displaystyle \frac{2}{2}}$ से गुणा करें.

${\displaystyle -1}$ और ${\displaystyle \frac{2}{2}}$ को मिलाएं.

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

न्यूमेरेटर को सरल करें.

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

${\displaystyle \frac{1}{2}}$ और ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

${\displaystyle \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}}$ को ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ से गुणा करें.

${\displaystyle 2}$ को ${\displaystyle 2}$ से गुणा करें.

${\displaystyle 3}$ को ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

ऋणात्मक घातांक नियम ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$ का उपयोग करके ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$ को भाजक में ले जाएँ.

योग नियम के अनुसार, ${\displaystyle x}$ के संबंध में ${\displaystyle \sqrt{x}-\sqrt{x^3}}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\sqrt{x}\right]+\frac{d}{dx}[-\sqrt{x^3}]}$ है.

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\sqrt{x}\right]}$ का मान ज्ञात करें.

${\displaystyle \frac{d}{dx}[-\sqrt{x^3}]}$ का मान ज्ञात करें.

सरल करें.

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

चूँकि ${\displaystyle 2x^{\frac{1}{2}},2,1}$ में संख्याएँ और चर दोनों शामिल हैं, LCM को खोजने के लिए दो चरण हैं. संख्यात्मक भाग ${\displaystyle 2,2,1}$ के लिए LCM खोजें फिर चर भाग ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$ के लिए LCM पता करें.

LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जिसे सभी संख्याएँ समान रूप से विभाजित करती हैं.

चूंकि ${\displaystyle 2}$ का ${\displaystyle 1}$ और ${\displaystyle 2}$ के अलावा कोई गुणनखंड नहीं है.

संख्या ${\displaystyle 1}$ एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि इसका केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, जो स्वयं है.

${\displaystyle 2,2,1}$ का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सभी अभाज्य गुणन खंड में से किसी एक संख्या में आने वाली सबसे बड़ी संख्या को गुणा करने का परिणाम है.

${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$ का LCM (न्यूनतम सामान्य गुणक) सभी अभाज्य गुणन खंडों को किसी भी पद में जितनी बार वे आते हैं, गुणा करने का परिणाम है.

${\displaystyle 2x^{\frac{1}{2}},2,1}$ के लिए LCM (लघुत्तम समापवर्तक) संख्यात्मक भाग ${\displaystyle 2}$ को चर भाग से गुणा किया जाता है.

${\displaystyle \frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}-\frac{3x^{\frac{1}{2}}}{2}=0}$ के प्रत्येक पद को ${\displaystyle 2x^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.