कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{4 x^{2}}{x - 3}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{4 x^{2}}{x - 3}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 3}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 3}]$

चरण 1.1.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x - 3$ है.

$4 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 \frac{(x - 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.2

$2$ को $x - 3$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 \frac{2 \cdot (x - 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.6

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.6.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.6.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3.6.3

$4$ और $\frac{2 (x - 3) x - x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{4 (2 (x - 3) x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 ((2 x + 2 \cdot - 3) x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.1.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 (2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.1.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 (2 x \cdot x) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.1.4.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.4.1.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.4.1.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{4 (2 (x \cdot x)) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.1.4.4.1.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.1.4.4.1.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{8 x^{2} + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.1.4.4.1.3

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{8 x^{2} + 4 (- 6 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.1.4.4.1.4

$- 6$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{8 x^{2} - 24 x + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.1.4.4.1.5

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{8 x^{2} - 24 x - 4 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.1.4.4.2

$8 x^{2}$ में से $4 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{4 x^{2} - 24 x}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.1.4.5

$4 x^{2} - 24 x$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.5.1

$4 x^{2}$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 x (x) - 24 x}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.1.4.5.2

$- 24 x$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 x (x) + 4 x (- 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.1.4.5.3

$4 x (x) + 4 x (- 6)$ में से $4 x$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$ है.

$\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$4 x (x - 6) = 0$

चरण 2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x - 6 = 0$

चरण 2.3.2

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 2.3.3

$x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 6 = 0$

चरण 2.3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $6$ जोड़ें.

$x = 6$

चरण 2.3.4

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $4 x (x - 6) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 6$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $0, 6$ हैं.

$0, 6$

चरण 4

पता लगाएं कि व्युत्पन्न कहां अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

${(x - 3)}^{2} = 0$

चरण 4.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 4.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 6) \cup (6, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1) ((- 1) - 6)}{{((- 1) - 3)}^{2}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{{(- 1 - 3)}^{2}}$

चरण 6.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$- 1$ में से $3$ घटाएं.

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{{(- 4)}^{2}}$

चरण 6.2.2.2

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{16}$

चरण 6.2.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

$- 1$ में से $6$ घटाएं.

$f' (- 1) = \frac{- 4 \cdot - 7}{16}$

चरण 6.2.3.2

$- 4$ को $- 7$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = \frac{28}{16}$

चरण 6.2.3.3

$28$ और $16$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.3.1

$28$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f' (- 1) = \frac{4 (7)}{16}$

चरण 6.2.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.3.2.1

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

चरण 6.2.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

चरण 6.2.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- 1) = \frac{7}{4}$

चरण 6.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{7}{4}$ है.

$\frac{7}{4}$

चरण 6.3

$x = - 1$ पर व्युत्पन्न $\frac{7}{4}$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, 0)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, 0)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, 3)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{3}{2}$ से बदलें.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{4 (\frac{3}{2}) ((\frac{3}{2}) - 6)}{{((\frac{3}{2}) - 3)}^{2}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$4$ और $\frac{3}{2}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

चरण 7.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$- 3$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

चरण 7.2.2.2

$- 3$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

चरण 7.2.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3 - 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

चरण 7.2.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.4.1

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3 - 6}{2})}^{2}}$

चरण 7.2.2.4.2

$3$ में से $6$ घटाएं.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

चरण 7.2.2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

चरण 7.2.2.6

उत्पाद नियम को $- \frac{3}{2}$ पर लागू करें.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

चरण 7.2.2.7

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

चरण 7.2.2.8

उत्पाद नियम को $\frac{3}{2}$ पर लागू करें.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

चरण 7.2.2.9

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

चरण 7.2.2.10

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{9}{4})}$

चरण 7.2.2.11

$\frac{9}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

चरण 7.2.3

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{12}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

चरण 7.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.4.1

$12$ को $2$ से विभाजित करें.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

चरण 7.2.4.2

$- 6$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}{\frac{9}{4}}$

चरण 7.2.4.3

$- 6$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

चरण 7.2.4.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3 - 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

चरण 7.2.4.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.4.5.1

$- 6$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3 - 12}{2})}{\frac{9}{4}}$

चरण 7.2.4.5.2

$3$ में से $12$ घटाएं.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{- 9}{2})}{\frac{9}{4}}$

चरण 7.2.4.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 \cdot (- 1 (\frac{9}{2}))}{\frac{9}{4}}$

चरण 7.2.4.7

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.4.7.1

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- (6 (\frac{9}{2}))}{\frac{9}{4}}$

चरण 7.2.4.7.2

$6$ और $\frac{9}{2}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{6 \cdot 9}{2}}{\frac{9}{4}}$

चरण 7.2.4.7.3

$6$ को $9$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{54}{2}}{\frac{9}{4}}$

चरण 7.2.4.8

$54$ को $2$ से विभाजित करें.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1 \cdot 27}{\frac{9}{4}}$

चरण 7.2.5

$- 1$ को $27$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27}{\frac{9}{4}}$

चरण 7.2.6

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f' (\frac{3}{2}) = - 27 (\frac{4}{9})$

चरण 7.2.7

$9$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.7.1

$- 27$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{3}{2}) = 9 (- 3) (\frac{4}{9})$

चरण 7.2.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{3}{2}) = 9 \cdot (- 3 (\frac{4}{9}))$

चरण 7.2.7.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{3}{2}) = - 3 \cdot 4$

चरण 7.2.8

$- 3$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (\frac{3}{2}) = - 12$

चरण 7.2.9

अंतिम उत्तर $- 12$ है.

$- 12$

चरण 7.3

$x = \frac{3}{2}$ पर व्युत्पन्न $- 12$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(0, 3)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(0, 3)$ पर घटता हुआ

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(3, 6)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{9}{2}$ से बदलें.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{4 (\frac{9}{2}) ((\frac{9}{2}) - 6)}{{((\frac{9}{2}) - 3)}^{2}}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$4$ और $\frac{9}{2}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} - 3)}^{2}}$

चरण 8.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$- 3$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

चरण 8.2.2.2

$- 3$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

चरण 8.2.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9 - 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

चरण 8.2.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.4.1

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9 - 6}{2})}^{2}}$

चरण 8.2.2.4.2

$9$ में से $6$ घटाएं.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

चरण 8.2.2.5

उत्पाद नियम को $\frac{3}{2}$ पर लागू करें.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{3^{2}}{2^{2}}}$

चरण 8.2.2.6

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{2^{2}}}$

चरण 8.2.2.7

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

चरण 8.2.3

$4$ को $9$ से गुणा करें.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{36}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

चरण 8.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.4.1

$36$ को $2$ से विभाजित करें.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

चरण 8.2.4.2

$- 6$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}{\frac{9}{4}}$

चरण 8.2.4.3

$- 6$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

चरण 8.2.4.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9 - 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

चरण 8.2.4.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.4.5.1

$- 6$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9 - 12}{2})}{\frac{9}{4}}$

चरण 8.2.4.5.2

$9$ में से $12$ घटाएं.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{- 3}{2})}{\frac{9}{4}}$

चरण 8.2.4.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 \cdot (- 1 (\frac{3}{2}))}{\frac{9}{4}}$

चरण 8.2.4.7

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.4.7.1

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- (18 (\frac{3}{2}))}{\frac{9}{4}}$

चरण 8.2.4.7.2

$18$ और $\frac{3}{2}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- \frac{18 \cdot 3}{2}}{\frac{9}{4}}$

चरण 8.2.4.7.3

$18$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- \frac{54}{2}}{\frac{9}{4}}$

चरण 8.2.4.8

$54$ को $2$ से विभाजित करें.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- 1 \cdot 27}{\frac{9}{4}}$

चरण 8.2.5

$- 1$ को $27$ से गुणा करें.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- 27}{\frac{9}{4}}$

चरण 8.2.6

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f' (\frac{9}{2}) = - 27 (\frac{4}{9})$

चरण 8.2.7

$9$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.7.1

$- 27$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{9}{2}) = 9 (- 3) (\frac{4}{9})$

चरण 8.2.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{9}{2}) = 9 \cdot (- 3 (\frac{4}{9}))$

चरण 8.2.7.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{9}{2}) = - 3 \cdot 4$

चरण 8.2.8

$- 3$ को $4$ से गुणा करें.

$f' (\frac{9}{2}) = - 12$

चरण 8.2.9

अंतिम उत्तर $- 12$ है.

$- 12$

चरण 8.3

$x = \frac{9}{2}$ पर व्युत्पन्न $- 12$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(3, 6)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(3, 6)$ पर घटता हुआ

चरण 9

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(6, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

व्यंजक में चर $x$ को $7$ से बदलें.

$f' (7) = \frac{4 (7) ((7) - 6)}{{((7) - 3)}^{2}}$

चरण 9.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$4$ को $7$ से गुणा करें.

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{{(7 - 3)}^{2}}$

चरण 9.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

$7$ में से $3$ घटाएं.

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{4^{2}}$

चरण 9.2.2.2

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{16}$

चरण 9.2.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.1

$7$ में से $6$ घटाएं.

$f' (7) = \frac{28 \cdot 1}{16}$

चरण 9.2.3.2

$28$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (7) = \frac{28}{16}$

चरण 9.2.3.3

$28$ और $16$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.3.1

$28$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f' (7) = \frac{4 (7)}{16}$

चरण 9.2.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.3.2.1

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f' (7) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

चरण 9.2.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (7) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

चरण 9.2.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (7) = \frac{7}{4}$

चरण 9.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{7}{4}$ है.

$\frac{7}{4}$

चरण 9.3

$x = 7$ पर व्युत्पन्न $\frac{7}{4}$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(6, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(6, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 10

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, 0), (6, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(0, 3), (3, 6)$

चरण 11