कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{3 x \sin (x)}{2 + \cos (x)}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x \sin (x)}{2 + \cos (x)})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{3 x \sin (x)}{2 + \cos (x)}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [\frac{x \sin (x)}{2 + \cos (x)}]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x \sin (x)}{2 + \cos (x)}]$

चरण 3.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x \sin (x)$ और $g (x) = 2 + \cos (x)$ है.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.4

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.5.2

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.5.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 + \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.5.4

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.5.5

$0$ और $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ जोड़ें.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.6

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.7

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.7.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.8

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.9

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.10

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.11

$1$ और $1$ जोड़ें.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.12

$3$ और $\frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{3 ((2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.13.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 ((2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.13.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.13.2.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.13.2.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 (2 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x))) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.2.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 (2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x))) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 (2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.2.1.2

$\cos (x) (x \cos (x))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.13.2.1.2.1

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3 (2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.2.1.2.2

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3 (2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.2.1.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{3 (2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.2.1.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{3 (2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 (2 \sin (x)) + 3 (x \cos^{2} (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.2.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.13.2.1.4.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{6 (x \cos (x)) + 3 (2 \sin (x)) + 3 (x \cos^{2} (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.2.1.4.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{6 (x \cos (x)) + 6 \sin (x) + 3 x \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 x \sin^{2} (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.2.2

$3 x \sin^{2} (x)$ ले जाएं.

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x \cos^{2} (x) + 3 x \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.2.3

$3 x \cos^{2} (x)$ में से $3 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x (\cos^{2} (x)) + 3 x \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.2.4

$3 x \sin^{2} (x)$ में से $3 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x (\cos^{2} (x)) + 3 x (\sin^{2} (x)) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.2.5

$3 x (\cos^{2} (x)) + 3 x (\sin^{2} (x))$ में से $3 x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.2.6

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.2.7

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x \cdot 1 + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.2.8

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{6 x \cos (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 x + 6 \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.4

$6 x \cos (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 x + 6 \sin (x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.13.4.1

$6 x \cos (x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 x + 6 \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.4.2

$3 \cos (x) \sin (x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 x + 6 \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.4.3

$3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 (x) + 6 \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.4.4

$6 \sin (x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 (x) + 3 (2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.4.5

$3 (2 x \cos (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x))$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x) + 3 (2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.4.6

$3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x) + 3 (2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.13.4.7

$3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x) + 3 (2 \sin (x))$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$