कैलकुलस उदाहरण

$(1 - e^{z}) (z + e^{z})$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ है, जहाँ $f (z) = 1 - e^{z}$ और $g (z) = z + e^{z}$ है.

$(1 - e^{z}) \frac{d}{d z} [z + e^{z}] + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $z$ के संबंध में $z + e^{z}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{z}]$ है.

$(1 - e^{z}) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{z}]) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ $n z^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(1 - e^{z}) (1 + \frac{d}{d z} [e^{z}]) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

चरण 3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ $a^{z} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

योग नियम के अनुसार, $z$ के संबंध में $1 - e^{z}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- e^{z}]$ है.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- e^{z}])$

चरण 4.2

चूंकि $z$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $z$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (0 + \frac{d}{d z} [- e^{z}])$

चरण 4.3

$0$ और $\frac{d}{d z} [- e^{z}]$ जोड़ें.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [- e^{z}]$

चरण 4.4

चूंकि $- 1$ , $z$ के संबंध में स्थिर है, $z$ के संबंध में $- e^{z}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d z} [e^{z}]$ है.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (- \frac{d}{d z} [e^{z}])$

चरण 5

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (- e^{z})$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z} (- e^{z})$

चरण 6.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

घातांक जोड़कर $e^{z}$ को $e^{z}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$e^{z}$ ले जाएं.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z} e^{z} \cdot - 1$

चरण 6.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z + z} \cdot - 1$

चरण 6.2.1.3

$z$ और $z$ जोड़ें.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{2 z} \cdot - 1$

चरण 6.2.2

$- 1$ को $e^{2 z}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) - 1 \cdot e^{2 z}$

चरण 6.2.3

$- 1 e^{2 z}$ को $- e^{2 z}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) - e^{2 z}$

चरण 6.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$(1 + e^{z}) (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

चरण 6.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 + e^{z}) (1 - e^{z})$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 (1 - e^{z}) + e^{z} (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

चरण 6.4.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 \cdot 1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

चरण 6.4.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 \cdot 1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

चरण 6.4.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1.1

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

चरण 6.4.2.1.2

$- e^{z}$ को $1$ से गुणा करें.

$1 - e^{z} + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

चरण 6.4.2.1.3

$e^{z}$ को $1$ से गुणा करें.

$1 - e^{z} + e^{z} + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

चरण 6.4.2.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{z} e^{z} - e^{z} z - e^{2 z}$

चरण 6.4.2.1.5

घातांक जोड़कर $e^{z}$ को $e^{z}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1.5.1

$e^{z}$ ले जाएं.

$1 - e^{z} + e^{z} - (e^{z} e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

चरण 6.4.2.1.5.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{z + z} - e^{z} z - e^{2 z}$

चरण 6.4.2.1.5.3

$z$ और $z$ जोड़ें.

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

चरण 6.4.2.2

$- e^{z}$ और $e^{z}$ जोड़ें.

$1 + 0 - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

चरण 6.4.2.3

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1 - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

चरण 6.5

$- e^{2 z}$ में से $e^{2 z}$ घटाएं.

$1 - e^{z} z - 2 e^{2 z}$

चरण 6.6

गुणनखंडों को $1 - e^{z} z - 2 e^{2 z}$ में पुन: क्रमित करें.

$1 - z e^{z} - 2 e^{2 z}$