कैलकुलस उदाहरण

$\int_{x^{4}}^{x^{5}} {(2 t - 1)}^{3} d t$

चरण 1

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} {(2 t)}^{3} + 3 {(2 t)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

चरण 2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

उत्पाद नियम को $2 t$ पर लागू करें.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 2^{3} t^{3} + 3 {(2 t)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

चरण 2.2

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} + 3 {(2 t)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

चरण 2.3

उत्पाद नियम को $2 t$ पर लागू करें.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} + 3 (2^{2} t^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

चरण 2.4

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} + 3 (4 t^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

चरण 2.5

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} + 12 t^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

चरण 2.6

$- 1$ को $12$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

चरण 2.7

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

चरण 2.8

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} d t]$

चरण 2.9

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t + {(- 1)}^{3} d t]$

चरण 2.10

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

चरण 3

समाकलन को दो समाकलन में विभाजित करें जहां $c$ $x^{4}$ और $x^{5}$ के बीच का कुछ मान है.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t + \int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

चरण 4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\int_{x^{4}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t + \int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$ है.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

चरण 5

समाकलन की सीमा की अदला-बदली करें.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x^{4}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

चरण 6

कलन के मौलिक प्रमेय और चेन रूल का उपयोग करके $x$ के संबंध में $- \int_{c}^{x^{4}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t$ का व्युत्पन्न लें.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] (- (8 {(x^{4})}^{3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

चरण 7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 x^{3} (- (8 {(x^{4})}^{3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

चरण 8

कलन के मौलिक प्रमेय और चेन रूल का उपयोग करके $x$ के संबंध में $\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t$ का व्युत्पन्न लें.

$4 x^{3} (- (8 {(x^{4})}^{3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + \frac{d}{d x} [x^{5}] (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

चरण 9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$4 x^{3} (- (8 {(x^{4})}^{3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

चरण 9.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

घातांक को ${(x^{4})}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{3} (- (8 x^{4 \cdot 3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

चरण 9.2.1.2

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$4 x^{3} (- (8 x^{12} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

चरण 9.2.2

घातांक को ${(x^{4})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{3} (- (8 x^{12} - 12 x^{4 \cdot 2} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

चरण 9.2.2.2

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$4 x^{3} (- (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

चरण 9.2.3

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

चरण 9.2.4

घातांक को ${(x^{5})}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.4.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 x^{5 \cdot 3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

चरण 9.2.4.2

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 x^{15} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

चरण 9.2.5

घातांक को ${(x^{5})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 x^{15} - 12 x^{5 \cdot 2} + 6 x^{5} - 1)$

चरण 9.2.5.2

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 x^{15} - 12 x^{10} + 6 x^{5} - 1)$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 4 x^{3} (8 x^{12}) - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15} - 12 x^{10} + 6 x^{5} - 1)$

चरण 10.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 4 x^{3} (8 x^{12}) - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

$8$ को $- 4$ से गुणा करें.

$- 32 x^{3} x^{12} - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.2

घातांक जोड़कर $x^{3}$ को $x^{12}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.2.1

$x^{12}$ ले जाएं.

$- 32 (x^{12} x^{3}) - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 32 x^{12 + 3} - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.2.3

$12$ और $3$ जोड़ें.

$- 32 x^{15} - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.3

$- 12$ को $- 4$ से गुणा करें.

$- 32 x^{15} + 48 x^{3} x^{8} - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.4

घातांक जोड़कर $x^{3}$ को $x^{8}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.4.1

$x^{8}$ ले जाएं.

$- 32 x^{15} + 48 (x^{8} x^{3}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.4.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 32 x^{15} + 48 x^{8 + 3} - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.4.3

$8$ और $3$ जोड़ें.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.5

$6$ को $- 4$ से गुणा करें.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{3} x^{4} - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.6

घातांक जोड़कर $x^{3}$ को $x^{4}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.6.1

$x^{4}$ ले जाएं.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 (x^{4} x^{3}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.6.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{4 + 3} - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.6.3

$4$ और $3$ जोड़ें.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.7

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.8

$8$ को $5$ से गुणा करें.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{4} x^{15} + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.9

घातांक जोड़कर $x^{4}$ को $x^{15}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.9.1

$x^{15}$ ले जाएं.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 (x^{15} x^{4}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.9.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{15 + 4} + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.9.3

$15$ और $4$ जोड़ें.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.10

$- 12$ को $5$ से गुणा करें.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{4} x^{10} + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.11

घातांक जोड़कर $x^{4}$ को $x^{10}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.11.1

$x^{10}$ ले जाएं.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 (x^{10} x^{4}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.11.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{10 + 4} + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.11.3

$10$ और $4$ जोड़ें.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.12

$6$ को $5$ से गुणा करें.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 x^{4} x^{5} + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.13

घातांक जोड़कर $x^{4}$ को $x^{5}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.13.1

$x^{5}$ ले जाएं.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 (x^{5} x^{4}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.13.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 x^{5 + 4} + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.13.3

$5$ और $4$ जोड़ें.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 x^{9} + 5 x^{4} \cdot - 1$

चरण 10.3.14

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 x^{9} - 5 x^{4}$

चरण 10.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$40 x^{19} - 32 x^{15} - 60 x^{14} + 48 x^{11} + 30 x^{9} - 24 x^{7} - 5 x^{4} + 4 x^{3}$