कैलकुलस उदाहरण

$y = {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{17}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{17})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{17}$ और $g (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{17}] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}]$

चरण 3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 17$ है.

$17 u^{16} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}]$

चरण 3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ से बदलें.

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}]$

चरण 3.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 1 + x^{2}$ और $g (x) = 1 - x^{2}$ है.

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ जोड़ें.

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{(1 - x^{2}) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.5

$2$ को $1 - x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 \cdot (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.7

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.8

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ जोड़ें.

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.9

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.10

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.10.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x + 1 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.10.2

$1 + x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.11

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.12

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.12.1

$2$ को $1 + x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$17 {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16} \frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 \cdot (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.12.2

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ और $17$ को मिलाएं.

$\frac{(2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x) \cdot 17}{{(1 - x^{2})}^{2}} {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16}$

चरण 3.3.12.3

$17$ को $2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{17 \cdot (2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} {(\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}})}^{16}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

उत्पाद नियम को $\frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ पर लागू करें.

$\frac{17 (2 (1 - x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{17 ((2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) x + 2 (1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{17 (2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{17 (2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{17 (2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 (- x^{2}) x) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.7

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{17 (2 x) + 17 (2 (- x^{2}) x) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.7.2

$2$ को $17$ से गुणा करें.

$\frac{34 x + 17 (2 (- x^{2}) x) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.7.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{34 x + 17 (- 2 x^{2} x) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.7.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{34 x + 17 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.7.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{34 x + 17 (- 2 x^{1 + 2}) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.7.6

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{34 x + 17 (- 2 x^{3}) + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.7.7

$- 2$ को $17$ से गुणा करें.

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 17 (2 \cdot 1 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.7.8

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 17 (2 x) + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.7.9

$2$ को $17$ से गुणा करें.

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 17 (2 x^{2} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.7.10

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 17 (2 (x^{1} x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.7.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 17 (2 x^{1 + 2})}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.7.12

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 17 (2 x^{3})}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.7.13

$2$ को $17$ से गुणा करें.

$\frac{34 x - 34 x^{3} + 34 x + 34 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.7.14

$34 x$ और $34 x$ जोड़ें.

$\frac{- 34 x^{3} + 68 x + 34 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.7.15

$- 34 x^{3}$ और $34 x^{3}$ जोड़ें.

$\frac{68 x + 0}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.7.16

$68 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{68 x}{{(1 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.7.17

$\frac{68 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ को $\frac{{(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{16}}$ से गुणा करें.

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{2} {(1 - x^{2})}^{16}}$

चरण 3.4.7.18

घातांक जोड़कर ${(1 - x^{2})}^{2}$ को ${(1 - x^{2})}^{16}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.18.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{2 + 16}}$

चरण 3.4.7.18.2

$2$ और $16$ जोड़ें.

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 - x^{2})}^{18}}$

चरण 3.4.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(- x^{2} + 1)}^{18}}$

चरण 3.4.9

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.9.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{18}}$

चरण 3.4.9.2

$- x^{2}$ और $1^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1^{2} - x^{2})}^{18}}$

चरण 3.4.9.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1$ और $b = x$ .

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{((1 + x) (1 - x))}^{18}}$

चरण 3.4.9.4

उत्पाद नियम को $(1 + x) (1 - x)$ पर लागू करें.

$\frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 + x)}^{18} {(1 - x)}^{18}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 + x)}^{18} {(1 - x)}^{18}}$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{68 x {(1 + x^{2})}^{16}}{{(1 + x)}^{18} {(1 - x)}^{18}}$