कैलकुलस उदाहरण

$3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$

चरण 1

$3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2

$\frac{d}{d x} [3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}]$ है.

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ और $g (x) = x - 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 4$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{2}{3}$ है.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 4$ से बदलें.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot {(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)))) + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)))) + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2.6

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2.7

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.9.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2.9.2

$2$ में से $3$ घटाएं.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2.11

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2.12

$\frac{2}{3}$ और ${(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = 3 (\frac{2 {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2.13

$\frac{2 {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 3 (\frac{2 {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2.14

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2.15

$3$ और $\frac{2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2.16

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{6}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2.17

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2.18

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.18.1

$3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 ({(x - 4)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2.18.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.2.18.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (6)$

चरण 2.1.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = \frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

चरण 2.1.3.2

$\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ है.

$\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

चरण 3.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 = 0$

चरण 3.3

$2 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 4

मूल समस्या के डोमेन में $x$ का कोई मान नहीं है जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

कोई क्रांतिक बिंदु नहीं मिला

चरण 5

पता लगाएं कि व्युत्पन्न कहां अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

भिन्नात्मक घातांक वाले व्यंजकों को करणी में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\frac{2}{\sqrt[3]{{(x - 4)}^{1}}}$

चरण 5.1.2

किसी भी चीज़ को $1$ तक बढ़ा दिया जाता है, वह आधार ही होता है.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x - 4}}$

चरण 5.2

$\frac{2}{\sqrt[3]{x - 4}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$\sqrt[3]{x - 4} = 0$

चरण 5.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को घन करें.

${\sqrt[3]{x - 4}}^{3} = 0^{3}$

चरण 5.3.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$\sqrt[3]{x - 4}$ को ${(x - 4)}^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${({(x - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

चरण 5.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1

${({(x - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1.1

घातांक को ${({(x - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

चरण 5.3.2.2.1.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(x - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

चरण 5.3.2.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(x - 4)}^{1} = 0^{3}$

चरण 5.3.2.2.1.2

सरल करें.

$x - 4 = 0^{3}$

चरण 5.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$x - 4 = 0$

चरण 5.3.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$x = 4$

चरण 6

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = \frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = 3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ है.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, 4)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f' (3) = \frac{2}{{((3) - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$3$ में से $4$ घटाएं.

$f' (3) = \frac{2}{{(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 7.2.1.2

$- 1$ को ${(- 1)}^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (3) = \frac{2}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 7.2.1.3

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (3) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

चरण 7.2.1.4

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (3) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

चरण 7.2.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (3) = \frac{2}{- 1}$

चरण 7.2.1.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f' (3) = \frac{2}{- 1}$

चरण 7.2.2

$2$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$f' (3) = - 2$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $- 2$ है.

$- 2$

चरण 7.3

$x = 3$ पर व्युत्पन्न $- 2$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, 4)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, 4)$ पर घटता हुआ

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(4, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $5$ से बदलें.

$f' (5) = \frac{2}{{((5) - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$5$ में से $4$ घटाएं.

$f' (5) = \frac{2}{1^{\frac{1}{3}}}$

चरण 8.2.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (5) = \frac{2}{1}$

चरण 8.2.2

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (5) = 2$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $2$ है.

$2$

चरण 8.3

$x = 5$ पर व्युत्पन्न $2$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(4, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(4, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 9

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(4, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, 4)$

चरण 10