कैलकुलस उदाहरण

$g (t) = \cos (\frac{1}{t}) e^{5 t^{2}}$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = \cos (\frac{1}{t})$ और $g (t) = e^{5 t^{2}}$ है.

$\cos (\frac{1}{t}) \frac{d}{d t} [e^{5 t^{2}}] + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = 5 t^{2}$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $5 t^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\cos (\frac{1}{t}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [5 t^{2}]) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [5 t^{2}]) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $5 t^{2}$ से बदलें.

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [5 t^{2}]) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

चूंकि $5$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $5 t^{2}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ है.

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (5 \frac{d}{d t} [t^{2}])) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (5 (2 t))) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

चरण 3.3

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \cos (t)$ और $g (t) = \frac{1}{t}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\frac{1}{t}$ के रूप में सेट करें.

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}])$

चरण 4.2

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{2})$ है.

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}])$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\frac{1}{t}$ से बदलें.

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (- \sin (\frac{1}{t}) \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}])$

चरण 5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{t}$ को $t^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (- \sin (\frac{1}{t}) \frac{d}{d t} [t^{- 1}])$

चरण 5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (- \sin (\frac{1}{t}) (- t^{- 2}))$

चरण 5.3

गुणा करें.

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चरण 5.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (1 \sin (\frac{1}{t}) t^{- 2})$

चरण 5.3.2

$\sin (\frac{1}{t})$ को $1$ से गुणा करें.

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (\sin (\frac{1}{t}) t^{- 2})$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (\sin (\frac{1}{t}) \frac{1}{t^{2}})$

चरण 6.2

पदों को मिलाएं.

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चरण 6.2.1

$\sin (\frac{1}{t})$ और $\frac{1}{t^{2}}$ को मिलाएं.

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} \frac{\sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$

चरण 6.2.2

$e^{5 t^{2}}$ और $\frac{\sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$ को मिलाएं.

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + \frac{e^{5 t^{2}} \sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$

चरण 6.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$10 e^{5 t^{2}} t \cos (\frac{1}{t}) + \frac{e^{5 t^{2}} \sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$

चरण 6.4

गुणनखंडों को $10 e^{5 t^{2}} t \cos (\frac{1}{t}) + \frac{e^{5 t^{2}} \sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$ में पुन: क्रमित करें.

$10 t e^{5 t^{2}} \cos (\frac{1}{t}) + \frac{e^{5 t^{2}} \sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$