कैलकुलस उदाहरण

$\frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$x = - 1$

चरण 2

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट पता करने के लिए $lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

सीमा तर्क को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - \frac{1}{e}}$

चरण 2.1.1.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.1

$e^{x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{e}{e}$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{e^{x} e}{e} - \frac{1}{e}}$

चरण 2.1.1.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{e^{x} e - 1}{e}}$

चरण 2.1.2

सीमा तर्क को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x} e - 1}$

चरण 2.1.2.2

गुणनखंडों को जोड़े.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

$e^{x}$ को $e$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1.1

$e$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x} e^{1} - 1}$

चरण 2.1.2.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x + 1} - 1}$

चरण 2.1.2.2.2

$e^{x}$ और $\frac{e}{e^{x + 1} - 1}$ को मिलाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} e}{e^{x + 1} - 1}$

चरण 2.1.2.2.3

$e^{x}$ को $e$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.3.1

$e$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} e^{1}}{e^{x + 1} - 1}$

चरण 2.1.2.2.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} - 1}$

चरण 2.2

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x + 1}}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1}$

चरण 2.2.1.2

चूँकि घातांक $x + 1$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{x + 1}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1}$

चरण 2.2.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.3.1

जैसे-जैसे $x$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 2.2.1.3.2

$\frac{\infty}{\infty - lim_{x \to \infty} 1}$

चरण 2.2.1.3.3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.3.3.1

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{\infty}{\infty - 1 \cdot 1}$

चरण 2.2.1.3.3.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.3.3.2.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\infty}{\infty - 1}$

चरण 2.2.1.3.3.2.2

अनंत में कोई संख्या से जोड़ या घटाव करने पर परिणाम एक संख्या अनंत होती है.

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 2.2.1.3.3.2.3

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 2.2.1.3.3.3

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 2.2.1.3.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 2.2.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 2.2.2

चूंकि $\frac{\infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

चरण 2.2.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

चरण 2.2.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 1$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

चरण 2.2.3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

चरण 2.2.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

चरण 2.2.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

चरण 2.2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

चरण 2.2.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

चरण 2.2.3.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

चरण 2.2.3.7

$e^{x + 1}$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

चरण 2.2.3.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{x + 1} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 2.2.3.9

$\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.9.1

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.9.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 1$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 2.2.3.9.1.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 2.2.3.9.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 2.2.3.9.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 2.2.3.9.3

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 2.2.3.9.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 2.2.3.9.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 2.2.3.9.6

$e^{x + 1}$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

चरण 2.2.3.10

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} + 0}$

चरण 2.2.3.11

$e^{x + 1}$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1}}$

चरण 2.2.4

$e^{x + 1}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1}}$

चरण 2.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to \infty} 1$

चरण 2.3

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$1$

चरण 3

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट पता करने के लिए $lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

जैसे ही $x$ $- \infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - e^{- 1}}$

चरण 3.2

चूँकि घातांक $x$ $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{x}$ $0$ की ओर एप्रोच करता है.

$\frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - e^{- 1}}$

चरण 3.3

जैसे-जैसे $x$ $- \infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} e^{- 1}}$

चरण 3.4

चूँकि घातांक $x$ $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{x}$ $0$ की ओर एप्रोच करता है.

$\frac{0}{0 - lim_{x \to - \infty} e^{- 1}}$

चरण 3.5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$e^{- 1}$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $- \infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{0}{0 - e^{- 1}}$

चरण 3.5.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{0}{0 - \frac{1}{e}}$

चरण 3.5.2.1.2

$0$ में से $\frac{1}{e}$ घटाएं.

$\frac{0}{- \frac{1}{e}}$

चरण 3.5.2.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$0 (- e)$

चरण 3.5.2.3

$0 (- e)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.3.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$0 e$

चरण 3.5.2.3.2

$0$ को $e$ से गुणा करें.

$0$

चरण 4

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट की सूची बनाएंं:

$y = 1, 0$

चरण 5

कोई तिरछी अनंतस्पर्शी नहीं है क्योंकि न्यूमेरेटर की डिग्री भाजक की डिग्री से कम या उसके बराबर है.

कोई तिरछी अनंतस्पर्शी नहीं

चरण 6

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = - 1$

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट: $y = 1, 0$

कोई तिरछी अनंतस्पर्शी नहीं

चरण 7