कैलकुलस उदाहरण

$16 x^{4} + 125 x$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $16 x^{4} + 125 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [16 x^{4}] + \frac{d}{d x} [125 x]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (16 x^{4}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [16 x^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $16$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $16 x^{4}$ का व्युत्पन्न $16 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$f' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f' (x) = 16 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

चरण 1.1.2.3

$4$ को $16$ से गुणा करें.

$f' (x) = 64 x^{3} + \frac{d}{d x} (125 x)$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [125 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $125$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $125 x$ का व्युत्पन्न $125 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = 64 x^{3} + 125 \frac{d}{d x} (x)$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 64 x^{3} + 125 \cdot 1$

चरण 1.1.3.3

$125$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = 64 x^{3} + 125$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $64 x^{3} + 125$ है.

$64 x^{3} + 125$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $64 x^{3} + 125 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$64 x^{3} + 125 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $125$ घटाएं.

$64 x^{3} = - 125$

चरण 2.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $125$ जोड़ें.

$64 x^{3} + 125 = 0$

चरण 2.4

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$64 x^{3}$ को ${(4 x)}^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

${(4 x)}^{3} + 125 = 0$

चरण 2.4.2

$125$ को $5^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

${(4 x)}^{3} + 5^{3} = 0$

चरण 2.4.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के योग का उपयोग करके गुणनखंड करें, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ जहाँ $a = 4 x$ और $b = 5$ .

$(4 x + 5) ({(4 x)}^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

चरण 2.4.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.4.1

उत्पाद नियम को $4 x$ पर लागू करें.

$(4 x + 5) (4^{2} x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

चरण 2.4.4.2

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

चरण 2.4.4.3

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

चरण 2.4.4.4

$5$ को $- 4$ से गुणा करें.

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 5^{2}) = 0$

चरण 2.4.4.5

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 25) = 0$

चरण 2.5

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$4 x + 5 = 0$

$16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

चरण 2.6

$4 x + 5$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$4 x + 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$4 x + 5 = 0$

चरण 2.6.2

$x$ के लिए $4 x + 5 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $5$ घटाएं.

$4 x = - 5$

चरण 2.6.2.2

$4 x = - 5$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.2.1

$4 x = - 5$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

चरण 2.6.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.2.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

चरण 2.6.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 5}{4}$

चरण 2.6.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{5}{4}$

चरण 2.7

$16 x^{2} - 20 x + 25$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$16 x^{2} - 20 x + 25$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

चरण 2.7.2

$x$ के लिए $16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 2.7.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 16$ , $b = - 20$ और $c = 25$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 25)}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.3.1.1

$- 20$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.3.1.2

$- 4 \cdot 16 \cdot 25$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.3.1.2.1

$- 4$ को $16$ से गुणा करें.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.3.1.2.2

$- 64$ को $25$ से गुणा करें.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.3.1.3

$400$ में से $1600$ घटाएं.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.3.1.4

$- 1200$ को $- 1 (1200)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (1200)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.3.1.7

$1200$ को $20^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.3.1.7.1

$1200$ में से $400$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.3.1.7.2

$400$ को $20^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.3.1.8

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.3.1.9

$20$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.3.2

$2$ को $16$ से गुणा करें.

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

चरण 2.7.2.3.3

$\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ को सरल करें.

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

चरण 2.7.2.4

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.4.1.1

$- 20$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.4.1.2

$- 4 \cdot 16 \cdot 25$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.4.1.2.1

$- 4$ को $16$ से गुणा करें.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.4.1.2.2

$- 64$ को $25$ से गुणा करें.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.4.1.3

$400$ में से $1600$ घटाएं.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.4.1.4

$- 1200$ को $- 1 (1200)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (1200)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.4.1.7

$1200$ को $20^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.4.1.7.1

$1200$ में से $400$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.4.1.7.2

$400$ को $20^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.4.1.8

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.4.1.9

$20$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.4.2

$2$ को $16$ से गुणा करें.

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

चरण 2.7.2.4.3

$\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ को सरल करें.

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

चरण 2.7.2.4.4

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}$

चरण 2.7.2.5

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.5.1.1

$- 20$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.5.1.2

$- 4 \cdot 16 \cdot 25$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.5.1.2.1

$- 4$ को $16$ से गुणा करें.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.5.1.2.2

$- 64$ को $25$ से गुणा करें.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.5.1.3

$400$ में से $1600$ घटाएं.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.5.1.4

$- 1200$ को $- 1 (1200)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (1200)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.5.1.7

$1200$ को $20^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.2.5.1.7.1

$1200$ में से $400$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.5.1.7.2

$400$ को $20^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.5.1.8

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.5.1.9

$20$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

चरण 2.7.2.5.2

$2$ को $16$ से गुणा करें.

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

चरण 2.7.2.5.3

$\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ को सरल करें.

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

चरण 2.7.2.5.4

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

चरण 2.7.2.6

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

चरण 2.8

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 25) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - \frac{5}{4}, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $16 x^{4} + 125 x$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = - \frac{5}{4}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- \frac{5}{4}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$16 {(- \frac{5}{4})}^{4} + 125 (- \frac{5}{4})$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{5}{4}$ पर लागू करें.

$16 ({(- 1)}^{4} {(\frac{5}{4})}^{4}) + 125 (- \frac{5}{4})$

चरण 4.1.2.1.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{5}{4}$ पर लागू करें.

$16 ({(- 1)}^{4} \frac{5^{4}}{4^{4}}) + 125 (- \frac{5}{4})$

चरण 4.1.2.1.2

$- 1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$16 (1 \frac{5^{4}}{4^{4}}) + 125 (- \frac{5}{4})$

चरण 4.1.2.1.3

$\frac{5^{4}}{4^{4}}$ को $1$ से गुणा करें.

$16 \frac{5^{4}}{4^{4}} + 125 (- \frac{5}{4})$

चरण 4.1.2.1.4

$5$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$16 \frac{625}{4^{4}} + 125 (- \frac{5}{4})$

चरण 4.1.2.1.5

$4$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$16 (\frac{625}{256}) + 125 (- \frac{5}{4})$

चरण 4.1.2.1.6

$16$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.6.1

$256$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$16 \frac{625}{16 (16)} + 125 (- \frac{5}{4})$

चरण 4.1.2.1.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$16 \frac{625}{16 \cdot 16} + 125 (- \frac{5}{4})$

चरण 4.1.2.1.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{625}{16} + 125 (- \frac{5}{4})$

चरण 4.1.2.1.7

$125 (- \frac{5}{4})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.7.1

$- 1$ को $125$ से गुणा करें.

$\frac{625}{16} - 125 (\frac{5}{4})$

चरण 4.1.2.1.7.2

$- 125$ और $\frac{5}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{625}{16} + \frac{- 125 \cdot 5}{4}$

चरण 4.1.2.1.7.3

$- 125$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{625}{16} + \frac{- 625}{4}$

चरण 4.1.2.1.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{625}{16} - \frac{625}{4}$

चरण 4.1.2.2

$- \frac{625}{4}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{625}{16} - \frac{625}{4} \cdot \frac{4}{4}$

चरण 4.1.2.3

प्रत्येक व्यंजक को $16$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.3.1

$\frac{625}{4}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{625}{16} - \frac{625 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

चरण 4.1.2.3.2

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{625}{16} - \frac{625 \cdot 4}{16}$

चरण 4.1.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{625 - 625 \cdot 4}{16}$

चरण 4.1.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.5.1

$- 625$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{625 - 2500}{16}$

चरण 4.1.2.5.2

$625$ में से $2500$ घटाएं.

$\frac{- 1875}{16}$

चरण 4.1.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1875}{16}$

चरण 4.2

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- \frac{5}{4}, - \frac{1875}{16})$

चरण 5