कैलकुलस उदाहरण

$y = 3 t {(2 t^{3} - 5)}^{5}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (3 t {(2 t^{3} - 5)}^{5})$

चरण 2

$t$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $3$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $3 t {(2 t^{3} - 5)}^{5}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d t} [t {(2 t^{3} - 5)}^{5}]$ है.

$3 \frac{d}{d t} [t {(2 t^{3} - 5)}^{5}]$

चरण 3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = t$ और $g (t) = {(2 t^{3} - 5)}^{5}$ है.

$3 (t \frac{d}{d t} [{(2 t^{3} - 5)}^{5}] + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = t^{5}$ और $g (t) = 2 t^{3} - 5$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 t^{3} - 5$ के रूप में सेट करें.

$3 (t (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d t} [2 t^{3} - 5]) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$3 (t (5 u^{4} \frac{d}{d t} [2 t^{3} - 5]) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 t^{3} - 5$ से बदलें.

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} \frac{d}{d t} [2 t^{3} - 5]) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $2 t^{3} - 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ है.

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.4.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t^{3}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ है.

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.4.4

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (6 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.4.5

चूंकि $t$ के संबंध में $- 5$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (6 t^{2} + 0)) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.4.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.6.1

$6 t^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$3 (t (5 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (6 t^{2})) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.4.6.2

$6$ को $5$ से गुणा करें.

$3 (t (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4} t^{2}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.5

$t$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 (t^{2} t^{1} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$3 (t^{2 + 1} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.7

$2$ और $1$ जोड़ें.

$3 (t^{3} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 (t^{3} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5} \cdot 1)$

चरण 3.9

${(2 t^{3} - 5)}^{5}$ को $1$ से गुणा करें.

$3 (t^{3} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4}) + {(2 t^{3} - 5)}^{5})$

चरण 3.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (t^{3} (30 {(2 t^{3} - 5)}^{4})) + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{5}$

चरण 3.10.2

$30$ को $3$ से गुणा करें.

$90 (t^{3} ({(2 t^{3} - 5)}^{4})) + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{5}$

चरण 3.10.3

$90 t^{3} {(2 t^{3} - 5)}^{4} + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{5}$ में से $3 {(2 t^{3} - 5)}^{4}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.3.1

$90 t^{3} {(2 t^{3} - 5)}^{4}$ में से $3 {(2 t^{3} - 5)}^{4}$ का गुणनखंड करें.

$3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (30 t^{3}) + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{5}$

चरण 3.10.3.2

$3 {(2 t^{3} - 5)}^{5}$ में से $3 {(2 t^{3} - 5)}^{4}$ का गुणनखंड करें.

$3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (30 t^{3}) + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (2 t^{3} - 5)$

चरण 3.10.3.3

$3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (30 t^{3}) + 3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (2 t^{3} - 5)$ में से $3 {(2 t^{3} - 5)}^{4}$ का गुणनखंड करें.

$3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (30 t^{3} + 2 t^{3} - 5)$

चरण 3.10.4

$30 t^{3}$ और $2 t^{3}$ जोड़ें.

$3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (32 t^{3} - 5)$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = 3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (32 t^{3} - 5)$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d t}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d t} = 3 {(2 t^{3} - 5)}^{4} (32 t^{3} - 5)$