कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x + \sqrt{x}$

चरण 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + \sqrt{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\sqrt{x})$

चरण 1.1.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\sqrt{x})$

चरण 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

चरण 1.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

चरण 1.1.1.2.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

चरण 1.1.1.2.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

चरण 1.1.1.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

चरण 1.1.1.2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

चरण 1.1.1.2.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

चरण 1.1.1.2.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

चरण 1.1.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.1.3.2

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 1.1.2.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ है.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

चरण 1.1.2.2.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

चरण 1.1.2.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))$

चरण 1.1.2.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

चरण 1.1.2.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

चरण 1.1.2.2.4

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

चरण 1.1.2.2.5

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

चरण 1.1.2.2.5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.5.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

चरण 1.1.2.2.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

चरण 1.1.2.2.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

चरण 1.1.2.2.6

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

चरण 1.1.2.2.7

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

चरण 1.1.2.2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

चरण 1.1.2.2.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.9.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

चरण 1.1.2.2.9.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

चरण 1.1.2.2.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

चरण 1.1.2.2.11

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

चरण 1.1.2.2.12

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ और $x^{- 1}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

चरण 1.1.2.2.13

घातांक जोड़कर $x^{- \frac{1}{2}}$ को $x^{- 1}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.13.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

चरण 1.1.2.2.13.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

चरण 1.1.2.2.13.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

चरण 1.1.2.2.13.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

चरण 1.1.2.2.13.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.13.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

चरण 1.1.2.2.13.5.2

$- 1$ में से $2$ घटाएं.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

चरण 1.1.2.2.13.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

चरण 1.1.2.2.14

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{3}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

चरण 1.1.2.2.15

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

चरण 1.1.2.2.16

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 1.1.2.3

$0$ में से $\frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ घटाएं.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 1.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ है.

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 1.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

चरण 1.2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$1 = 0$

चरण 1.2.3

$1 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 2

$f (x) = x + \sqrt{x}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

रेडिकैंड को $\sqrt{x}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$x \geq 0$

चरण 2.2

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$[0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \geq 0}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$[0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \geq 0}$

चरण 3

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$[0, \infty)$

चरण 4

अंतराल $[0, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

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चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f'' (2) = - \frac{1}{4 {(2)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 + \frac{3}{2}}}$

चरण 4.2.1.3

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

चरण 4.2.1.4

$2$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

चरण 4.2.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}}}$

चरण 4.2.1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.6.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{4 + 3}{2}}}$

चरण 4.2.1.6.2

$4$ और $3$ जोड़ें.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

चरण 4.2.2

अंतिम उत्तर $- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$ है.

$- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

चरण 4.3

अंतराल $[0, \infty)$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (2)$ ऋणात्मक है.

$[0, \infty)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 5