कैलकुलस उदाहरण

$y = e^{x}$ , $y = x e^{x^{2}}$ , $(1, e)$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$e^{x} = x e^{x^{2}}$

चरण 1.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को ग्राफ करें. हल प्रतिच्छेदन बिंदु का x-मान है.

$x = 1$

चरण 1.3

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 1$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

चरण 1.3.2

$1$ को $x$ के लिए $y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ में प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 1 \cdot e^{1^{2}}$

चरण 1.3.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

चरण 1.3.2.3

$(1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.3.1

$e^{{(1)}^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$y = e^{{(1)}^{2}}$

चरण 1.3.2.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$y = e^{1}$

चरण 1.3.2.3.3

सरल करें.

$y = e$

चरण 1.4

सिस्टम का हल क्रमित युग्म का पूरा सेट है जो मान्य हल हैं.

$(1, e)$

चरण 2

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

चरण 3

$1$ और $e$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - (e^{x}) d x$

चरण 3.2

$- 1$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - e^{x} d x$

चरण 3.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

चरण 3.4

मान लीजिए $u_{2} = e^{x^{2}}$ .फिर $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

मान लें $u_{2} = e^{x^{2}}$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

$e^{x^{2}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

चरण 3.4.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.4.1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.4.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 3.4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{x^{2}} (2 x)$

चरण 3.4.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.4.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$2 e^{x^{2}} x$

चरण 3.4.1.4.2

गुणनखंडों को $2 e^{x^{2}} x$ में पुन: क्रमित करें.

$2 x e^{x^{2}}$

चरण 3.4.2

$x$ के लिए $u_{2} = e^{x^{2}}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = e^{1^{2}}$

चरण 3.4.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{lower} = e^{1}$

चरण 3.4.3.2

सरल करें.

$u_{lower} = e$

चरण 3.4.4

$x$ के लिए $u_{2} = e^{x^{2}}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

चरण 3.4.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = e$

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

चरण 3.4.6

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{e}^{e^{e^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

चरण 3.5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

चरण 3.6

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

चरण 3.7

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - (e^{x}]_{1}^{e})$

चरण 3.8

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1

$e^{e^{2}}$ पर और $e$ पर $\frac{1}{2} u_{2}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - (e^{x}]_{1}^{e})$

चरण 3.8.2

$e$ पर और $1$ पर $e^{x}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

चरण 3.8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{e^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

चरण 3.8.3.2

$e$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - ((e^{e}) - e^{1})$

चरण 3.8.3.3

सरल करें.

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - (e^{e} - e)$

चरण 3.8.3.4

$- (e^{e} - e)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - (e^{e} - e) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e}{2}$

चरण 3.8.3.5

$- (e^{e} - e)$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{e^{2}}}{2} + \frac{- (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

चरण 3.8.3.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{e^{e^{2}} - (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

चरण 3.8.3.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e)}{2} - \frac{e}{2}$

चरण 3.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e) - e}{2}$

चरण 3.9.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} - 2 (- e) - e}{2}$

चरण 3.9.2.2

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + 2 e - e}{2}$

चरण 3.9.3

$2 e$ में से $e$ घटाएं.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + e}{2}$

चरण 4