कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ ; $[- 1, 1]$

चरण 1

किसी फलन का औसत मान ज्ञात करने के लिए, फलन को बंद अंतराल $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए. यह पता लगाने के लिए कि $f (x)$ , $[- 1, 1]$ पर सतत है या नहीं, $f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\frac{5}{x^{2} + 1}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{2} + 1 = 0$

चरण 1.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x^{2} = - 1$

चरण 1.2.2

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{- 1}$

चरण 1.2.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i$

चरण 1.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = i$

चरण 1.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - i$

चरण 1.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = i, - i$

चरण 1.3

डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 2

$f (x)$ $[- 1, 1]$ पर निरंतर है.

$f (x)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} \frac{5}{x^{2} + 1} d x)$

चरण 5

चूँकि $5$ बटे $x$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

चरण 6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x^{2}$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

चरण 6.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

चरण 7

$x$ के संबंध में $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ का इंटीग्रल $\arctan (x)]_{- 1}^{1}$ है.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\arctan (x)]_{- 1}^{1}))$

चरण 8

$1$ पर और $- 1$ पर $\arctan (x)$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\arctan (1) - \arctan (- 1)))$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$\arctan (1)$ का सटीक मान $\frac{π}{4}$ है.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} - \arctan (- 1)))$

चरण 9.1.2

$\arctan (- 1)$ का सटीक मान $- \frac{π}{4}$ है.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}))$

चरण 9.1.3

$- - \frac{π}{4}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})))$

चरण 9.1.3.2

$\frac{π}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}))$

चरण 9.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π + π}{4}))$

चरण 9.3

$π$ और $π$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{4}))$

चरण 9.4

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.1

$2 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 (π)}{4}))$

चरण 9.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.4.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{2 \cdot 2}))$

चरण 9.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{2 \cdot 2}))$

चरण 9.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{2}))$

चरण 9.5

$5$ और $\frac{π}{2}$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{5 π}{2})$

चरण 10

$1$ और $1$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

चरण 11

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{5 π}{2}$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{5 π}{2 \cdot 2}$

चरण 11.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{5 π}{4}$

चरण 12