कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 3}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x^{2} + 3$ है.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.2.2

$x^{2} + 3$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.6.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.2.6.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.7

$x^{2}$ में से $2 x^{2}$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.8.1

$- x^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.8.2

$3$ को $- 1 (- 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) - 1 \cdot - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.8.3

$- (x^{2}) - 1 (- 3)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.8.4

$- (x^{2} - 3)$ को $- 1 (x^{2} - 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = \frac{- 1 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.1.8.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ है.

$- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 3 = 0$

चरण 2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x^{2} = 3$

चरण 2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

चरण 2.3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \sqrt{3}$

चरण 2.3.3.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \sqrt{3}$

चरण 2.3.3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $\sqrt{3}, - \sqrt{3}$ हैं.

$\sqrt{3}, - \sqrt{3}$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - \sqrt{3})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2.7320508$ से बदलें.

$f' (- 2.7320508) = - \frac{{(- 2.7320508)}^{2} - 3}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$- 2.7320508$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 2.7320508) = - \frac{7.46410157 - 3}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 5.2.1.2

$7.46410157$ में से $3$ घटाएं.

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 5.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$- 2.7320508$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{(7.46410157 + 3)}^{2}}$

चरण 5.2.2.2

$7.46410157$ और $3$ जोड़ें.

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{10.46410157}^{2}}$

चरण 5.2.2.3

$10.46410157$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{109.49742174}$

चरण 5.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$4.46410157$ को $109.49742174$ से विभाजित करें.

$f' (- 2.7320508) = - 1 \cdot 0.04076901$

चरण 5.2.3.2

$- 1$ को $0.04076901$ से गुणा करें.

$f' (- 2.7320508) = - 0.04076901$

चरण 5.2.4

अंतिम उत्तर $- 0.04076901$ है.

$- 0.04076901$

चरण 5.3

$x = - 2.7320508$ पर व्युत्पन्न $- 0.04076901$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, - \sqrt{3})$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, - \sqrt{3})$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 1.7320508, \sqrt{3})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f' (0) = - \frac{{(0)}^{2} - 3}{{({(0)}^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f' (0) = - \frac{0 - 3}{{(0^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 6.2.1.2

$0$ में से $3$ घटाएं.

$f' (0) = - \frac{- 3}{{(0^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 6.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f' (0) = - \frac{- 3}{{(0 + 3)}^{2}}$

चरण 6.2.2.2

$0$ और $3$ जोड़ें.

$f' (0) = - \frac{- 3}{3^{2}}$

चरण 6.2.2.3

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (0) = - \frac{- 3}{9}$

चरण 6.2.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

$- 3$ और $9$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1.1

$- 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f' (0) = - \frac{3 (- 1)}{9}$

चरण 6.2.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1.2.1

$9$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f' (0) = - \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

चरण 6.2.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (0) = - \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

चरण 6.2.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (0) = - \frac{- 1}{3}$

चरण 6.2.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (0) = \frac{1}{3}$

चरण 6.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{1}{3}$ है.

$\frac{1}{3}$

चरण 6.3

$x = 0$ पर व्युत्पन्न $\frac{1}{3}$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- 1.7320508, \sqrt{3})$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(\sqrt{3}, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $2.7320508$ से बदलें.

$f' (2.7320508) = - \frac{{(2.7320508)}^{2} - 3}{{({(2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$2.7320508$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2.7320508) = - \frac{7.46410157 - 3}{{({2.7320508}^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 7.2.1.2

$7.46410157$ में से $3$ घटाएं.

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{({2.7320508}^{2} + 3)}^{2}}$

चरण 7.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$2.7320508$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{(7.46410157 + 3)}^{2}}$

चरण 7.2.2.2

$7.46410157$ और $3$ जोड़ें.

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{10.46410157}^{2}}$

चरण 7.2.2.3

$10.46410157$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{109.49742174}$

चरण 7.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

$4.46410157$ को $109.49742174$ से विभाजित करें.

$f' (2.7320508) = - 1 \cdot 0.04076901$

चरण 7.2.3.2

$- 1$ को $0.04076901$ से गुणा करें.

$f' (2.7320508) = - 0.04076901$

चरण 7.2.4

अंतिम उत्तर $- 0.04076901$ है.

$- 0.04076901$

चरण 7.3

$x = 2.7320508$ पर व्युत्पन्न $- 0.04076901$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(\sqrt{3}, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(\sqrt{3}, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, - \sqrt{3}), (\sqrt{3}, \infty)$

चरण 9