कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = e^{x} (3 x - 1)$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 3 x - 1$ है.

$f' (x) = e^{x} \frac{d}{d x} (3 x - 1) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$f' (x) = e^{x} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f' (x) = e^{x} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

चरण 1.1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = e^{x} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

चरण 1.1.2.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = e^{x} (3 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

चरण 1.1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = e^{x} (3 + 0) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

चरण 1.1.2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.6.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = e^{x} \cdot 3 + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

चरण 1.1.2.6.2

$3$ को $e^{x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f' (x) = 3 \cdot e^{x} + (3 x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})$

चरण 1.1.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$f' (x) = 3 e^{x} + (3 x - 1) e^{x}$

चरण 1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = 3 e^{x} + 3 x e^{x} - 1 e^{x}$

चरण 1.1.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.2.1

$- 1 e^{x}$ को $- e^{x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = 3 e^{x} + 3 x e^{x} - e^{x}$

चरण 1.1.4.2.2

$3 e^{x}$ में से $e^{x}$ घटाएं.

$f' (x) = 3 x e^{x} + 2 e^{x}$

चरण 1.1.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = 3 e^{x} x + 2 e^{x}$

चरण 1.1.4.4

गुणनखंडों को $3 e^{x} x + 2 e^{x}$ में पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = 3 x e^{x} + 2 e^{x}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $3 x e^{x} + 2 e^{x}$ है.

$3 x e^{x} + 2 e^{x}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $3 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

चरण 2.2

$3 x e^{x} + 2 e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$3 x e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{x} (3 x) + 2 e^{x} = 0$

चरण 2.2.2

$2 e^{x}$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{x} (3 x) + e^{x} \cdot 2 = 0$

चरण 2.2.3

$e^{x} (3 x) + e^{x} \cdot 2$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$e^{x} (3 x + 2) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$e^{x} = 0$

$3 x + 2 = 0$

चरण 2.4

$e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$e^{x}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{x} = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $e^{x} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

चरण 2.4.2.2

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (0)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 2.4.2.3

$e^{x} = 0$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 2.5

$3 x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$3 x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 x + 2 = 0$

चरण 2.5.2

$x$ के लिए $3 x + 2 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$3 x = - 2$

चरण 2.5.2.2

$3 x = - 2$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.1

$3 x = - 2$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

चरण 2.5.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

चरण 2.5.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 2}{3}$

चरण 2.5.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{2}{3}$

चरण 2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $e^{x} (3 x + 2) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - \frac{2}{3}$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $- \frac{2}{3}$ हैं.

$- \frac{2}{3}$

चरण 4

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = 3 x e^{x} + 2 e^{x}$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = e^{x} (3 x - 1)$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$ है.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - \frac{2}{3})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- \frac{5}{3}$ से बदलें.

$f' (- \frac{5}{3}) = 3 (- \frac{5}{3}) \cdot e^{- \frac{5}{3}} + 2 e^{- \frac{5}{3}}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

$- \frac{5}{3}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f' (- \frac{5}{3}) = 3 (\frac{- 5}{3}) \cdot e^{- \frac{5}{3}} + 2 e^{- \frac{5}{3}}$

चरण 5.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (- \frac{5}{3}) = 3 (\frac{- 5}{3}) \cdot e^{- \frac{5}{3}} + 2 e^{- \frac{5}{3}}$

चरण 5.2.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- \frac{5}{3}) = - 5 \cdot e^{- \frac{5}{3}} + 2 e^{- \frac{5}{3}}$

चरण 5.2.1.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- \frac{5}{3}) = - 5 \cdot \frac{1}{e^{\frac{5}{3}}} + 2 e^{- \frac{5}{3}}$

चरण 5.2.1.3

$- 5$ और $\frac{1}{e^{\frac{5}{3}}}$ को मिलाएं.

$f' (- \frac{5}{3}) = \frac{- 5}{e^{\frac{5}{3}}} + 2 e^{- \frac{5}{3}}$

चरण 5.2.1.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{e^{\frac{5}{3}}} + 2 e^{- \frac{5}{3}}$

चरण 5.2.1.5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{e^{\frac{5}{3}}} + 2 (\frac{1}{e^{\frac{5}{3}}})$

चरण 5.2.1.6

$2$ और $\frac{1}{e^{\frac{5}{3}}}$ को मिलाएं.

$f' (- \frac{5}{3}) = - \frac{5}{e^{\frac{5}{3}}} + \frac{2}{e^{\frac{5}{3}}}$

चरण 5.2.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (- \frac{5}{3}) = \frac{- 5 + 2}{e^{\frac{5}{3}}}$

चरण 5.2.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1

$- 5$ और $2$ जोड़ें.

$f' (- \frac{5}{3}) = \frac{- 3}{e^{\frac{5}{3}}}$

चरण 5.2.2.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (- \frac{5}{3}) = - \frac{3}{e^{\frac{5}{3}}}$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $- \frac{3}{e^{\frac{5}{3}}}$ है.

$- \frac{3}{e^{\frac{5}{3}}}$

चरण 5.3

$x = - \frac{5}{3}$ पर व्युत्पन्न $- \frac{3}{e^{\frac{5}{3}}}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, - \frac{2}{3})$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, - \frac{2}{3})$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \frac{2}{3}, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{1}{3}$ से बदलें.

$f' (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3}) \cdot e^{\frac{1}{3}} + 2 e^{\frac{1}{3}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3}) \cdot e^{\frac{1}{3}} + 2 e^{\frac{1}{3}}$

चरण 6.2.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{1}{3}) = 1 \cdot e^{\frac{1}{3}} + 2 e^{\frac{1}{3}}$

चरण 6.2.1.2

$e^{\frac{1}{3}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (\frac{1}{3}) = e^{\frac{1}{3}} + 2 e^{\frac{1}{3}}$

चरण 6.2.2

$e^{\frac{1}{3}}$ और $2 e^{\frac{1}{3}}$ जोड़ें.

$f' (\frac{1}{3}) = 3 e^{\frac{1}{3}}$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $3 e^{\frac{1}{3}}$ है.

$3 e^{\frac{1}{3}}$

चरण 6.3

$x = \frac{1}{3}$ पर व्युत्पन्न $3 e^{\frac{1}{3}}$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \frac{2}{3}, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \frac{2}{3}, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \frac{2}{3}, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, - \frac{2}{3})$

चरण 8