कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \cos^{2} (x)$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

चरण 1.1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\cos (x))$

चरण 1.1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$f' (x) = 2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))$

चरण 1.1.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f' (x) = 2 \cos (x) (- \sin (x))$

चरण 1.1.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 2 \cos (x) \sin (x)$ है.

$- 2 \cos (x) \sin (x)$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$

चरण 2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

चरण 2.3

$\cos (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\cos (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\cos (x) = 0$

चरण 2.3.2

$x$ के लिए $\cos (x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (0)$

चरण 2.3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.1

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$x = \frac{π}{2}$

चरण 2.3.2.3

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

चरण 2.3.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.4.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 2.3.2.4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.4.2.1

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 2.3.2.4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 2.3.2.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.4.3.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 π - π}{2}$

चरण 2.3.2.4.3.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{3 π}{2}$

चरण 2.3.2.5

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 2.3.2.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 2.3.2.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 2.3.2.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 2.3.2.6

$\cos (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2.4

$\sin (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$\sin (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\sin (x) = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $\sin (x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$x = \arcsin (0)$

चरण 2.4.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$x = 0$

चरण 2.4.2.3

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = π - 0$

चरण 2.4.2.4

$π$ में से $0$ घटाएं.

$x = π$

चरण 2.4.2.5

$\sin (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 2.4.2.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 2.4.2.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 2.4.2.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 2.4.2.6

$\sin (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2.6

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{π n}{2}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $\frac{π n}{2}$ हैं.

$\frac{π n}{2}$

चरण 4

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = \cos^{2} (x)$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ है.

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, \frac{π n}{2})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π n}{2} - 1$ से बदलें.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = - 2 \cos (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

चरण 5.2

अंतिम उत्तर $- 2 \cos (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ है.

$- 2 \cos (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

चरण 5.3

सरल करें.

$- 2 \cos (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

चरण 5.4

$x = \frac{π n}{2} - 1$ पर व्युत्पन्न $- 2 \cos (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, \frac{π n}{2})$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, \frac{π n}{2})$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(\frac{π n}{2}, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π n}{2} + 1$ से बदलें.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = - 2 \cos (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

चरण 6.2

अंतिम उत्तर $- 2 \cos (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ है.

$- 2 \cos (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

चरण 6.3

सरल करें.

$- 2 \cos (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

चरण 6.4

$x = \frac{π n}{2} + 1$ पर व्युत्पन्न $- 2 \cos (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(\frac{π n}{2}, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(\frac{π n}{2}, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 7

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, \frac{π n}{2}), (\frac{π n}{2}, \infty)$

चरण 8