कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 x + 200}$

चरण 1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 5 x + 200}$

चरण 1.2

चूँकि घातांक $x$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{x}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 x + 200}$

चरण 1.3

एक बहुपद की अनंत की सीमा जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, अनंत है.

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 2

चूंकि $\frac{\infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 x + 200} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 200]}$

चरण 3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

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चरण 3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 200]}$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 x + 200]}$

चरण 3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 x + 200$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [200]$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [200]}$

चरण 3.4

$\frac{d}{d x} [5 x]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 3.4.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [200]}$

चरण 3.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [200]}$

चरण 3.4.3

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 + \frac{d}{d x} [200]}$

चरण 3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $200$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $200$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 + 0}$

चरण 3.6

$5$ और $0$ जोड़ें.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5}$

चरण 4

चूँकि फलन $e^{x}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए फलन का धनात्मक स्थिरांक $\frac{1}{5}$ गुना भी $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

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चरण 4.1

सतत एकाधिक $\frac{1}{5}$ हटाई गई लिमिट पर विचार करें.

$lim_{x \to \infty} e^{x}$

चरण 4.2

चूँकि घातांक $x$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{x}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

$\infty$