कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 \tan^{-1} (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \tan^{-1} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

चरण 1.1.2

$\frac{d}{d x} [5 \tan^{-1} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 \tan^{-1} (x)$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (x)]$ है.

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\tan^{-1} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

चरण 1.1.2.2

$x$ के संबंध में $\tan^{-1} (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + x^{2}}$ है.

$f' (x) = 5 (\frac{1}{1 + x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

चरण 1.1.2.3

$5$ और $\frac{1}{1 + x^{2}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x^{3}$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 3 \frac{d}{d x} x^{3}$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 3 (3 x^{2})$

चरण 1.1.3.3

$3$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 9 x^{2}$

चरण 1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1.1

$- 9 x^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 9 x^{2} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

चरण 1.1.4.1.2

$- 9 x^{2}$ और $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} + \frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

चरण 1.1.4.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (x) = \frac{5 - 9 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

चरण 1.1.4.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = \frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$ है.

$\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5 = 0$

चरण 2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 9 x^{2} \cdot 1 - 9 x^{2} x^{2} + 5 = 0$

चरण 2.3.1.2

$- 9$ को $1$ से गुणा करें.

$- 9 x^{2} - 9 x^{2} x^{2} + 5 = 0$

चरण 2.3.1.3

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.3.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$- 9 x^{2} - 9 (x^{2} x^{2}) + 5 = 0$

चरण 2.3.1.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 9 x^{2} - 9 x^{2 + 2} + 5 = 0$

चरण 2.3.1.3.3

$2$ और $2$ जोड़ें.

$- 9 x^{2} - 9 x^{4} + 5 = 0$

चरण 2.3.2

समीकरण में $u = x^{2}$ प्रतिस्थापित करें. इससे द्विघात सूत्र का उपयोग करना आसान हो जाएगा.

$- 9 u^{2} - 9 u + 5 = 0$

$u = x^{2}$

चरण 2.3.3

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 2.3.4

द्विघात सूत्र में $a = - 9$ , $b = - 9$ और $c = 5$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $u$ के लिए हल करें.

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot 5)}}{2 \cdot - 9}$

चरण 2.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.1

$- 9$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

चरण 2.3.5.1.2

$- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.2.1

$- 4$ को $- 9$ से गुणा करें.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

चरण 2.3.5.1.2.2

$36$ को $5$ से गुणा करें.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

चरण 2.3.5.1.3

$81$ और $180$ जोड़ें.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

चरण 2.3.5.1.4

$261$ को $3^{2} \cdot 29$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.4.1

$261$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

चरण 2.3.5.1.4.2

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

चरण 2.3.5.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

चरण 2.3.5.2

$2$ को $- 9$ से गुणा करें.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

चरण 2.3.5.3

$\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ को सरल करें.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

चरण 2.3.5.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

चरण 2.3.6

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1.1

$- 9$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

चरण 2.3.6.1.2

$- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1.2.1

$- 4$ को $- 9$ से गुणा करें.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

चरण 2.3.6.1.2.2

$36$ को $5$ से गुणा करें.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

चरण 2.3.6.1.3

$81$ और $180$ जोड़ें.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

चरण 2.3.6.1.4

$261$ को $3^{2} \cdot 29$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1.4.1

$261$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

चरण 2.3.6.1.4.2

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

चरण 2.3.6.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

चरण 2.3.6.2

$2$ को $- 9$ से गुणा करें.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

चरण 2.3.6.3

$\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ को सरल करें.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

चरण 2.3.6.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

चरण 2.3.6.5

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$u = - \frac{3 + \sqrt{29}}{6}$

चरण 2.3.7

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1.1

$- 9$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

चरण 2.3.7.1.2

$- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1.2.1

$- 4$ को $- 9$ से गुणा करें.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

चरण 2.3.7.1.2.2

$36$ को $5$ से गुणा करें.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

चरण 2.3.7.1.3

$81$ और $180$ जोड़ें.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

चरण 2.3.7.1.4

$261$ को $3^{2} \cdot 29$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1.4.1

$261$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

चरण 2.3.7.1.4.2

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

चरण 2.3.7.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

चरण 2.3.7.2

$2$ को $- 9$ से गुणा करें.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

चरण 2.3.7.3

$\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ को सरल करें.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

चरण 2.3.7.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

चरण 2.3.7.5

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$u = - \frac{3 - \sqrt{29}}{6}$

चरण 2.3.8

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$u = - \frac{3 + \sqrt{29}}{6}, - \frac{3 - \sqrt{29}}{6}$

चरण 2.3.9

हल किए गए समीकरण में $u = x^{2}$ के वास्तविक मान को वापस प्रतिस्थापित करें.

$x^{2} = - 1.39752746$

${(x^{2})}^{1} = 0.39752746$

चरण 2.3.10

$x$ के लिए पहला समीकरण हल करें.

$x^{2} = - 1.39752746$

चरण 2.3.11

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1.39752746}$

चरण 2.3.11.2

$\pm \sqrt{- 1.39752746}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.11.2.1

$- 1.39752746$ को $- 1 (1.39752746)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1 (1.39752746)}$

चरण 2.3.11.2.2

$\sqrt{- 1 (1.39752746)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.39752746}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.39752746}$

चरण 2.3.11.2.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \sqrt{1.39752746}$

चरण 2.3.11.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.11.3.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = i \sqrt{1.39752746}$

चरण 2.3.11.3.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - i \sqrt{1.39752746}$

चरण 2.3.11.3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}$

चरण 2.3.12

$x$ का मान ज्ञात करने के लिए दूसरा समीकरण हल करें.

${(x^{2})}^{1} = 0.39752746$

चरण 2.3.13

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.13.1

कोष्ठक हटा दें.

$x^{2} = 0.39752746$

चरण 2.3.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.39752746}$

चरण 2.3.13.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.13.3.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \sqrt{0.39752746}$

चरण 2.3.13.3.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \sqrt{0.39752746}$

चरण 2.3.13.3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$

चरण 2.3.14

$- 9 x^{4} - 9 x^{2} + 5 = 0$ का हल $x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}, \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$ है.

$x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}, \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = \sqrt{0.39752746}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\sqrt{0.39752746}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$5 \tan^{-1} (\sqrt{0.39752746}) - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$\tan^{-1} (\sqrt{0.39752746})$ का मान ज्ञात करें.

$5 \cdot 0.56254301 - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

चरण 4.1.2.1.2

$5$ को $0.56254301$ से गुणा करें.

$2.81271509 - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

चरण 4.1.2.1.3

${\sqrt{0.39752746}}^{3}$ को $\sqrt{{0.39752746}^{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2.81271509 - 3 \sqrt{{0.39752746}^{3}}$

चरण 4.1.2.1.4

$0.39752746$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$2.81271509 - 3 \sqrt{0.0628205}$

चरण 4.1.2.2

$2.81271509$ में से $3 \sqrt{0.0628205}$ घटाएं.

$2.06079452$

चरण 4.2

$x = - \sqrt{0.39752746}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- \sqrt{0.39752746}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$5 \tan^{-1} (- \sqrt{0.39752746}) - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

चरण 4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

$\tan^{-1} (- \sqrt{0.39752746})$ का मान ज्ञात करें.

$5 \cdot - 0.56254301 - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

चरण 4.2.2.1.2

$5$ को $- 0.56254301$ से गुणा करें.

$- 2.81271509 - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

चरण 4.2.2.1.3

उत्पाद नियम को $- \sqrt{0.39752746}$ पर लागू करें.

$- 2.81271509 - 3 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.39752746}}^{3})$

चरण 4.2.2.1.4

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 2.81271509 - 3 (- {\sqrt{0.39752746}}^{3})$

चरण 4.2.2.1.5

${\sqrt{0.39752746}}^{3}$ को $\sqrt{{0.39752746}^{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 2.81271509 - 3 (- \sqrt{{0.39752746}^{3}})$

चरण 4.2.2.1.6

$0.39752746$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 2.81271509 - 3 (- \sqrt{0.0628205})$

चरण 4.2.2.1.7

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$- 2.81271509 + 3 \sqrt{0.0628205}$

चरण 4.2.2.2

$- 2.81271509$ और $3 \sqrt{0.0628205}$ जोड़ें.

$- 2.06079452$

चरण 4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(\sqrt{0.39752746}, 2.06079452), (- \sqrt{0.39752746}, - 2.06079452)$

चरण 5